Министерство образования и науки российской федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Таганрогский государственный радиотехнический университет Кафедра моп эвм

Курс: «Дискретная математика» Индивидуальное задание

Вариант 10

Выполнил: студент гр. А-94

Гордиенко А.Ю.

Проверила: Родзина О.Н.

Таганрог 2006 г.

1) Доказать или опровергнуть всеми известными методами для произвольных множеств справедливость следующих равенств (при доказательстве указывать используемые тождества и эквивалентные преобразования):

Теоретическая часть:

Множество – совокупность некоторых элементов, объединенных каким либо свойством.

Характеристический предикат – некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения или процедуры, возвращающей логическое значение. Если для данного элемента условие выполняется, то этот элемент принадлежит множеству, иначе – не принадлежит.

- пустое множество, множество, не содержащее ни одного элемента.

Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Два множества не равны, если в одном из множеств есть элемент, не принадлежащий другому множеству.

X подмножество Y, если ;

X и Y равны

Если в некотором рассмотрении участвуют только лишь подмножества некоторого фиксированного I, то это самое большое множество – универсум.

; ; ; ;

;

Множество всех подмножеств I и операции и образуют алгебру подмножеств множества I.

выполняется:

Идемпотентность: ;

Коммутативность: ;

Ассоциативность: ;

Дистрибутивность: ;

Поглощение:

При доказательствах были использованы законы алгебры логики для простых и составных высказываний:

- логические утверждения, тогда:

; - идемпотентность

;

;

- закон противоречия

- закон исключения третьего

- закон двойного отрицания

; - законы де Моргана

; - коммутативность

; - ассоциативность

; - дистрибутивность

Практическая часть:

а)

1. Метод диаграмм Эйлер-Вена.

Из диаграмм видно, что , следовательно

2. Метод доказательства от противного.

здесь и далее использовано следующее тождество

т. к.

Таким образом, исходное предположение не верно и .

3. Метод эквивалентных преобразований.

При доказательстве использовались закон Де Моргана и свойство дистрибутивности.

4. Метод взаимного включения.

б)

1. Метод диаграмм Эйлер-Вена.

Из диаграмм видно, что

2. Метод доказательства от противного.

Пусть

здесь и далее использовано следующее тождество

Таким образом, исходное предположение верно и .

3. Метод эквивалентных преобразований.

При доказательстве использовались закон Де Моргана и свойство дистрибутивности.

4. Метод взаимного включения.

2) Доказать для произвольных множеств X,Y,W,Z справедливость (или несправедливость) следующих высказываний:

I² \ (X*Y) = [(I\X) * I ]∪ [ I*(I\Y)]

Теоретическая часть:

См. задание 1.

Кортеж (упорядоченное множество) – совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает вполне определенное место.

Прямым (декартовым) произведением множества X на множество Y – называется упорядоченное множество A, состоящее из таких и только таких элементов (x,y), что x принадлежит X, а y принадлежит Y.

;

Практическая часть:

а) I² \ (X*Y) = [(I\X) * I ]∪ [ I*(I\Y)]

Докажем это равенство методом взаимного включения.

так как и

I² \ (X*Y)

Прямое и обратное включения доказаны, следовательно, равенство верно.

б)

Докажем это равенство методом взаимного включения.

Прямое и обратное включения доказаны, следовательно, равенство верно.