1.3 Теория упругости.
Для решения задач теории упругости методом конечных элементов используется метод, заключавшийся в минимизации интегральной величины, связанной с работой напряжений и внешней приложенной нагрузки. Если задача решается в перемещениях и на границе заданы их значения, то нужно минимизировать потенциальную энергию системы. Если задача решается в напряжениях с заданными на границе усилиями, то нужно минимизировать дополнительную работу системы. Общепринятая формулировка метода конечных элементов предполагает отыскивание поля перемещений и тем самым связана с минимизацией потенциальной энергии системы при отыскивании узловых значений вектора перемещений. После того как перемещения будут определены, можно вычислить компоненты тензоров деформации и напряжения.
Теорема о потенциальной энергии. Из всех перемещений, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, стационарное (экстремальное) значение потенциальной энергии сообщает те перемещения, которые удовлетворяют уравнения равновесия.
Полная потенциальная энергия упругой системы может быть разделена на две части, одна из которых соответствует энергия деформаций в теле, а другая определяется потенциальной энергии массовых сил и приложенных поверхностных сил. Полная потенциальная энергия
где
- энергия деформаций, а
- потенциальная энергия приложенных
сил. Работа внешних сил противоположна
по знаку их потенциальной энергии:
Получаем
После разбиения области на элементы равенства записывается в виде суммы
Энергия деформации бесконечно малого объема dV дается формулой.
Вид
векторных столбцов
и
зависит
от того, какая задача решается. В основе
теории упругости лежат два важных
соотношения: закон Гука, который связывает
компоненты тензоров напряжений и
деформаций, и соотношения связи между
деформациями. Закон Гука в общей форме
имеет вид:
Где
содержит упругие константы материалы.
Соотношения между деформацией и
перемещением записываются как
,
,
.
,
,
,
где u, v и w – компоненты перемещений в направлении координатных осей x, y и z соответственно.