ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Современный инженер встречается с большими трудностями при расчетах сооружений. Классическая математика, несмотря на все возрастающую точность методов, в состоянии решать задачи лишь при значительной их идеализации. Этот процесс настолько трудоемок, что отнимает у проектировщика много времени. Благодаря применению мощных ЭВМ при одновременном снижении стоимости арифметических операций используются относительно простые численные методы, совершенствуя процесс расчета. Это же снижение стоимости позволяет проводить более точные расчеты вместо приближенных вычислений сомнительной обоснованности.

Для решения наиболее сложных задач механической деформации твердого тела и теории теплопроводности используют различного рода численные реализации алгоритмов решения. К числу наиболее эффективных методов, получивший за последнее время широкое распространение, относится метод конечных элементов (МКЭ). Идея метода заключается в приближенном решении вариационной формулировки проблемы, на основе которой строится связь «сила – перемещение» для каждого элемента из совокупности конечного числа элементов, на которые разбивается изучаемая область сплошной среды. Дискретизация сплошной среды в виде элементов, связанных конечным числом узловых связей, позволяет сохранить свойства среды при определении напряженно – деформированного состояния каждого элемента. Наличие конечного числа узловых связей дает возможность ввести соотношения между силами, приложенными к узловыми точкам, и вызываемыми ими перемещениями. Это соотношение представляется матрицей жесткости элемента. В отличие от метода конечных разностей аппроксимация, положенная в основу метода конечных элементов, имеет явно выраженную физическую природу. Последнее дает возможность для широкого обобщения и позволяет вести прямой контроль за поведением конструкции в процессе счета.

Известные преимущества перед другими численными методами и широчайшая область применения МКЭ вызвали большой интерес к его использованию для решения различных задач. В отличие от аналитических методов, в которых приходится прибегать к идеализации свойств среды и схематизации геометрических форм сооружений, метод конечных элементов позволяет значительно приблизить расчетную схему к реальному объекту. Метод дает возможность учесть реальные свойства среды, такие как анизотропия и слоистость, наличие ослабленных областей, трещин, а также учесть реальную геометрию сооружений.

Целью работы является программная реализация метода конечных элементов на языке высокого программирования Java. Разработка алгоритмом для решения уравнений, описывающих механическую деформацию твердых двухмерных и трехмерных тел, включая задачи теории упругости и упругопластического поведения материала.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Разработка алгоритма генерации двухмерной и трехмерной сетки. Рассматриваемая область разбивается на ячейки, представляющие собой простые фигуры. Каждая ячейка разделяется на конечные элементы.

2. Решение задачи теории упругости и упругопластического поведения материала. Решение задач о распространении тепла в системе. Решение включает следующие шаги:

• Определение интерполяционной функции. Интерполяционная функция используется для интерполяции переменных внутри конечного элемента. Обычно, в роли интерполяционной функции выступает полином. Степень полинома зависит от количества узлов в элементе.

• Вычисление матрицы и вектора элементов. Матрица уравнений для конечных элементов устанавливает, как взаимосвязаны узловые значения неизвестной функции с известными параметрами. Для решения этой задачи используются различные подходы. Самые удобные:

  • Вариационный подход,

  • Метод Галеркина.

• Формирование системы уравнения элементов.

• Вычисление неизвестных переменных в глобальной системе уравнений.

• Вычисление дополнительных параметров.

3. Визуализация полученных результатов. Вывод на экран модели конечных элементов и результирующие поля как контуры поверхности модели.

1. Теоретические аспекты исследуемой системы

1.1. Метод конечных элементов

1.1.1. Основная концепция метода конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ или метод последовательных приближений) – один из наиболее эффективных численных методов решения математических задач, описывающих состояние физических систем сложной структуры. В науке и технике постоянно приходится сталкиваться с проблемой расчета систем, имеющих сложную геометрическую конфигурацию и нерегулярную физическую структуру. Компьютеры позволяют выполнять такие расчеты при помощи приближенных численных методов. Метод конечных элементов является одним из них. В последние десятилетия он занял ведущее положение и получил широкое применение. Основной целью применения метода конечных элементов состоит в нахождение функции, которая будет описывать заданную непрерывную величину, такую как, к примеру, температуру, давление и т.д. Данная функция получается путем аппроксимации дискретной модели, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области. В общем случае вначале неизвестны значения непрерывной величины. Поэтому нужно для построения дискретной модели определить ее значения в некоторых узлах. После этого уже рассчитать значения по всей области модели. Можно предложить следующий алгоритм для решения требуемой задачи:

– в рассматриваемой области выбираем определенное количество точек. Их будем называть узловыми точками или просто узлами;

– значение непрерывной величины и каждой узловой точки считаем за переменную, которая должна быть определена;

– разбиваем область определения непрерывной величины на конечное число подобласть, называемыми элементами. Узловые точки будут вершинами для подобластей.

Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента подбираем свой полином, но следим за тем, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента.

Рассмотрим основные идеи МКЭ на примере. В качестве объекта возьмем стержень с заданным распределением температуры (рис. 1).

Рис. 1 Распределение температуры в одномерном стержне

Рис. 2 точки и предполагаемые значения T(x)

Рассмотрим непрерывная величина T(x) и область определения отрезок МК вдоль оси х. Выберем пять точек равномерно расположенных между собой, и пронумеруем (конечно, не обязательно, чтоб они были равномерно расположены). Это будут наши узлы. Для более точного результата можно взять и больше точек, но пока ограничимся пятью. Такое количество достаточно, чтоб проиллюстрировать идею метода. Значение T(x) в каждой из узловых точек известны (рис. 2) и обозначаются через Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ и Т₅. Разбить данную область можно двумя способами:

– можно ограничить каждый элемент двумя точками, в итоге получим 4 элемента.

– на 2 элемента, каждый будет содержать 3 узла.

Значения Т(х) в узлах каждого элемента будет определяться полиномом. Для первого случая разбивания области на 4 элемента получим в итоге 4 кусочно-линейных функций. Линейна, потому что каждый элемент содержит 2 точки, которые описываются полином первой степени (представляет собой на графике прямую линию).

Для второго случая итогом будет 2 кусочно-непрерывных квадратичных функций. Квадратичных, потому что описывать значения в узлах будет полином 2 степени. Так же отметим, что приближение будет кусочно-непрерывным, так как углы наклона графиков обеих функций могут иметь разные значение в третьем узле.

В общем случае распределение температуры неизвестно. Методика определение значений этой величины в некоторых точках остается прежней, но с добавлением одного шага. Снова определяются множество узлов и значений температуры в этих узлах, которые теперь являются переменными, так как они заранее неизвестны. Область разбивается на элементы, на каждом из которых определяется соответствующая функция элемента. Узловые точки теперь отрегулированы таким образом, чтобы обеспечивать наилучшее приближение к истинному распределению температуры.

При построении дискретной модели непрерывной величины, определенной в двух- или трехмерной области, основная концепция остается прежней. Теперь определяемая функция будет зависеть от х и у, либо от х, у и z соответственно. В таком случае область разбивается на элементы, которые являются либо треугольниками или четырехугольниками. Функция элемента будет представляться плоскостью.

Важным аспектом МКЭ является возможность выделить из набора элементов типичный элемент при определении функции элемента. Это позволяет определить функцию элемента независимо от относительного положения элемента в общей связной модели и от других функций элементов. Задание функции элемента через произвольное множество узловых значений и координат позволяет использовать функции элемента для аппроксимации геометрии области.