1.2.2. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Для решения задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности. Под дифференциальным уравнением понимают математическую зависимость, выражаемую дифференциальным уравнением, между физическими величинами, характеризующими изучаемое явление, причем эти физические величины являются функциями пространства и времени. Такое уравнение характеризует протекание физического явления в любой точке тела в любой момент времени.

Дифференциальное уравнение теплопроводности дает зависимость между температурой, временем и координатами элементарного объема. Для стационарной системы уравнение теплопроводности будет иметь следующий вид:

,

где T – температура; – коэффициент теплопроводности; – оператор Лапласа (он может быть представлен как div(grad T)), Q – источник тепла внутри системы, который считается положительным, если тепло подводится к телу. Значение коэффициента теплопроводности зависит от физических свойств вещества и характеризует его способность проводить теплоту. Оно представляет собой количество теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности при температурном градиенте, равном единице.

Для нестационарных систем уравнение будет иметь следующий вид:

.

1.2.3. Краевые условия

Для того чтобы найти температурное поле внутри тела в любой момент времени, т.е. чтобы решить дифференциальное уравнение, надо знать распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие), геометрическую форму тела и закон взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела (граничные условия).

Совокупность начального и граничного условий называется краевыми условиями; начальное условие называется временным краевым условием, а граничное условие – пространственным краевым условием.

Начальное условие определяется заданием закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени, т.е.

где f(x, y, z) – известная функция.

Во многих задачах принимают равномерное распределение температуры в начальный момент времени, т.е.

.

Граничное условие может быть задано различными способами:

– граничное условие первого рода , в этом случае на границе области Г, в которой ищется решение, задана некая непрерывная функция p (условие Дирихле)

– граничное условие второго рода , в этом случае на границе Г задана производная по направлению n внешней нормали (условие Неймана).

– граничное условие третьего рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой при постоянном потоке тепла. Количество тепла, передаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду с температурой T_c в процессе охлаждения (Т_п > Т_с), прямо пропорционально разности температур между поверхностью тела и окружающей среды, т.е.

где а – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплообмена. Для процесса нагревания тела можно написать аналогичное соотношение, поменяв местами Т_с и Т_п.

Конвективным теплообменом или теплоотдачей называется процесс переноса теплоты между поверхностью твердого тела и жидкой средой. Процесс переноса теплоты неразрывно связан с переносом среды. Поэтому конвекция возможна лишь в жидкостях и газах, частицы которых могут легко перемещаться. При этом перенос осуществляется одновременным действием теплопроводности и конвекции.