1.1.2. Преимущества и недостатки мкэ

В настоящее время МКЭ получил широкое применение. Его используют при решении дифференциальных уравнений, которые описывают всевозможные физические процессы. Такое обширное применение МКЭ получил по следующим причинам:

– свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к телам, составленных из нескольких элементов.

– криволинейная область может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов или описана точно с помощью криволинейных элементов. Таким образом, методом можно пользоваться не только для областей с идеальной формой границ.

– размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы, если в этом есть необходимость.

– с помощью МКЭ не предоставляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.

Главным недостатком МКЭ заключается в необходимости составления вычислительных программ и применение вычислительной техники. Вычисления, которые требуются проводить при использовании МКЭ, слишком громоздки для ручного вычисления. Для решения сложных задач необходимо использовать быстродействующую ЭВМ, обладающую большой памятью.

1.2. Теплопередача

1.2.1. Температурное поле

Как было отмечено, совокупность мгновенных значений температуры во всех точках изучаемого пространства называется температурным полем.

,

где – температура тела; – координаты точки; – время.

Так как температура есть величина скалярная, то и температурное поле является скалярным.

Различают стационарные и нестационарные поля. К нестационарному полю относятся поля, температура которых изменяется не только в пространстве, но и с течением времени. Стационарное поле – поле, значение температуры которого не изменяется во времени, т.е. является функцией только координат:

Температура может быть функцией одной, двух и трех координат, соответственно температурное поле будет одно–, двух– и трехмерным. Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:

Если соединить все точки тела с одинаковой температурой, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической. Так как в определенной точке тела в данный момент времени может быть только одна температура, изотермические поверхности не пересекаются; все они либо замыкаются на себя, либо заканчиваются на границе тела. Наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверхности.

Возрастание температуры в направлении нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры (grad T). Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры, т.е.

,

где – единичный вектор, направленный по нормали в сторону возрастания температуры, – производная температуры по направлению нормали n к изотермической поверхности.

Теплота самопроизвольно переносится только в сторону убывания температуры. Количество теплоты, переносимое через какую – либо изотермическую поверхность в единицу времени, называется тепловым потоком Q. Тепловой поток, отнесенный к единице площади изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока q. Плотность теплового есть вектор, направление которого совпадает с направлением распространения теплоты в данной точке и противоположно направлению вектора температурного градиента.