Однородные системы линейных уравнений.

Рассмотрим однородную систему m линейных уравнений с n переменными:

(15)

Система однородных линейных уравнений всегда совместна, т.к. она всегда имеет нулевое (тривиальное) решение (0,0,…,0).

Если в системе (15) m=n и , то система имеет только нулевое решение, что следует из теоремы и формул Крамера.

Теорема 1. Однородная система (15) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа переменных, т.е. r(A)<n.

Доказательство. Существование нетривиального решения системы (15) эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы системы (т.е. существуют такие числа х₁, x₂,…,x_n, не все равные нулю, что справедливы равенства (15)).

По теореме о базисном миноре столбцы матрицы линейно зависимы Û, когда не все столбцы этой матрицы являются базисными, т.е. Û, когда порядок r базисного минора матрицы меньше числа n ее столбцов. Ч.т.д.

Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальные решения Û, когда |А|=0.

Теорема 2. Если столбцы х⁽¹⁾,х⁽²⁾,…,х^(s) решения однородной системы АХ=0, то любая их линейная комбинация так же является решением этой системы.

Доказательство. Рассмотрим любую комбинацию решений:

х= , l_kÎR

Тогда АХ=А( )= = =0. ч.т.д.

Следствие 1. Если однородная система имеет нетривиальное решение, то она имеет бесконечно много решений.

Т.о. необходимо найти такие решения х⁽¹⁾,х⁽²⁾,…,х^(s) системы Ах=0, чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом.

Определение. Система k=n-r (n –количество неизвестных в системе, r=rg A) линейно независимых решений х⁽¹⁾,х⁽²⁾,…,х^(k) системы Ах=0 называется фундаментальной системой решений этой системы.

Теорема 3. Пусть дана однородная система Ах=0 с n неизвестными и r=rg A. Тогда существует набор из k=n-r решений х⁽¹⁾,х⁽²⁾,…,х^(k) этой системы, образующих фундаментальную систему решений.

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор матрицы А расположен в верхнем левом углу. Тогда, по теореме о базисном миноре, остальные строки матрицы А являются линейными комбинациями базисных строк. Это означает, что если значения х₁,х₂,…,x_n удовлетворяют первым r уравнениям т.е. уравнениям, соответствующим строкам базисного минора), то они удовлетворяют и другим уравнениям. Следовательно, множество решений системы не изменится, если отбросить все уравнения начиная с (r+1)-го. Получим систему:

Перенесем свободные неизвестные х_r+1,х_r+2,…,x_n в правую часть, а базисные х₁,х₂,…,x_r оставим в левой:

(16)

Т.к. в этом случае все b_i=0, то вместо формул

c_j= (M_j(b_i)-c_r+1M_j(a_i,r+1)-…-c_nM_j(a_in)) j=1,2,…,r ((13), получим:

c_j=- (c_r+1M_j(a_i,r+1)-…-c_nM_j(a_in)) j=1,2,…,r (13¢)

Если задать свободным неизвестным х_r+1,х_r+2,…,x_n произвольные значения, то относительно базисных неизвестных получим квадратную СЛАУ с невырожденной матрицей, у которой существует единственное решение. Т.о., любое решение однородной СЛАУ однозначно определяется значениями свободных неизвестных х_r+1,х_r+2,…,x_n. Рассмотрим следующие k=n-r серий значений свободных неизвестных:

=1, =0, …., =0,

=1, =0, …., =0, (17)

………………………………………………

=1, =0, …., =0,

(Номер серии указан верхним индексом в скобках, а серии значений выписаны в виде столбцов. В каждой серии =1, если i=j и =0, если i¹j.

i-й серии значений свободных неизвестных однозначно соответствуют значения , ,…, базисных неизвестных. Значения свободных и базисных неизвестных в совокупности дают решения системы (17).

Покажем, что столбцы е_i= , i=1,2,…,k (18)

образуют фундаментальную систему решений.

Т.к. эти столбцы по построению являются решениями однородной системы Ах=0 и их количество равно k, то остается доказать линейную независимость решений (16). Пусть есть линейная комбинация решений e₁,e₂,…,e_k (х⁽¹⁾, х⁽²⁾,…,х^(k)), равная нулевому столбцу:

l₁e₁+l₂e₂+…+l_ke_k (l₁х⁽¹⁾+l₂х⁽²⁾+…+l_kх^(k)=0)

Тогда левая часть этого равенства является столбцом, компоненты которого с номерами r+1,r+2,…,n равны нулю. Но (r+1)-я компоненты равна l₁1+l₂0+…+l_k0=l₁. Аналогично, (r+2)-я компонента равна l₂,…, k-я компонента равна l_k. Поэтому l₁=l₂=…=l_k=0, что и означает линейную независимость решений e₁,e₂,…,e_k (х⁽¹⁾, х⁽²⁾,…,х^(k)).Ч.т.д.

Построенная фундаментальная система решений (18) называется нормальной. В силу формулы (13¢) она имеет следующий вид:

(20)

Следствие 2. Пусть e₁,e₂,…,e_k-нормальная фундаментальная система решений однородной системы, тогда множество всех решений можно описать формулой:

х=с₁e₁+с₂e₂+…+с_ke_k (21)

где с₁,с₂,…,с_k – принимают произвольные значения.

Доказательство. По теореме 2 столбец (19) является решением однородной системы Ах=0. Остается доказать, что любое решение этой системы можно представить в виде (17). Рассмотрим столбец х=у_r+1e₁+…+y_ne_k. Этот столбец совпадает со столбцом у по элементам с номерами r+1,…,n и является решением (16). Поэтому столбцы х и у совпадают, т.к. решения системы (16) определяются однозначно набором значений ее свободных неизвестных x_r+1,…,x_n, а у столбцов у и х эти наборы совпадают. Следовательно, у=х= у_r+1e₁+…+y_ne_k, т.е. решение у является линейной комбинацией столбцов e₁,…,y_n нормальной ФСР. Ч.т.д.

Доказанное утверждение справедливо не только для нормальной ФСР, но и для произвольной ФСР однородной СЛАУ.

Х=c₁Х₁+c₂Х₂+…+с_n-rХ_n-r - общее решение системы линейных однородных уравнений

Где Х₁,Х₂,…,Х_n-r – любая фундаментальная система решений,

c₁,c₂,…,с_n-r – произвольные числа.

Пример. (с. 78)

Установим связь между решениями неоднородной СЛАУ (1) и соответствующей ей однородной СЛАУ (15)

Теорема 4. Сумма любого решения неоднородной системы (1) и соответствующей ей однородной системы (15) является решением системы (1).

Доказательство. Если c₁,…,c_n – решение системы (1), а d₁,…,d_n - решение системы (15), то подставив в любое (например, в i-е) уравнение системы (1) на место неизвестных числа c₁+d₁,…,c_n+d_n, получим:

= + =b_i+0=b_i ч.т.д.

Теорема 5. Разность двух произвольных решений неоднородной системы (1) является решением однородной системы (15).

Доказательство. Если c¢₁,…,c¢_n и c²₁,…,c²_n – решения системы (1), то подставив в любое (например, в i-е) уравнение системы (1) на место неизвестных числа c¢₁-с²₁,…,c¢_n-с²_n, получим:

= - =b_i-b_i=0 ч.т.д.

Из доказанных теорем следует, что общее решение системы m линейных однородных уравнений с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородных линейных уравнений (15) и произвольного числа частного решения этой системы (15).

Х_неод.=Х_{общ. одн.}+Х_{част. неодн.} (22)

В качестве частного решения неоднородной системы естественно взять то его решение, которое получается, если в формулах c_j= (M_j(b_i)-c_r+1M_j(a_i,r+1)-…-c_nM_j(a_in)) j=1,2,…,r ((13) положить равными нулю все числа c_r+1,…,c_n,т.е.

Х₀=( ,…, ,0,0,…,0) (23)

Складывая это частное решение с общим решением Х=c₁Х₁+c₂Х₂+…+с_n-rХ_n-r соответствующей однородной системы, получаем:

Х_неод.=Х₀+С₁Х₁+С₂Х₂+…+С_n-rХ_n-r (24)

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными:

в которой хотя бы один из коэф. a_ij 0.

Для решения исключим х₂, умножив первое уравнение на а₂₂, а второе – на (-а₁₂) и сложив их: Исключим х₁, умножив первое уравнение на (-а₂₁), а второе – на а₁₁ и сложив их: Выражение в скобках – определитель

Обозначив , , тогда система примет вид: , т.о., если , то система имеет единственное решение: , .

Если Δ=0, а (или ), то система несовместна, т.к. приводится к виду Если Δ=Δ₁=Δ₂=0, то система неопределенная, т.к. приводится к виду