31

Лекция №1. Матрицы. Основные понятия. Понятие матрицы.

Матрицей размера mxn называется таблица, состоящая из mxn выражений,

где m – число строк, n-число столбцов.

Обозначение: А= или

Числа а_ij–элементы матрицы. Индекс i обозначает номер строки, а индекс j-столбца.

Если m=n, то матрица квадратная.

Если m=1, получаем матрицу-строку А= .

Если n=1, получаем матрицу-столбец А=.

Нулевой матрицей(нуль-матрицей) называется матрица любого размера, все элементы которой нули- Обозначение 0_mxn или Θ.

Если m=n – квадратная матрица. (Пример) M_n(R) – множество квадратных матриц над R.

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в ее правый нижний угол: а₁₁, а₂₂, …, а_nn.( Элементы вида а_ii- диагональные элементы)

Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла матрицы в ее правый верхний угол: а_n1, а_n-12, …, а_1n.

Матрица называется диагональной, если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, т.е. , . Пример.

След матрицы trA=

Единичной матрицей n-го порядка называется диагональная матрица n-го порядка, все диагональные элементы которой равны 1. Обозначают буквой Е. Пример.

Выделяют так же верхние Δ-е и нижние Δ-е матрицы. Пример.

Алгебра матриц.

Две матрицы считаются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают. (А_nxm=B_kxl, n=k, m=l, a_ij=b_ij)

1. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера nxm называется матрица С=А+В того же размера nxm, элементы которой равны c_ij=a_ij+b_ij (i=1,…,m; j=1,…,n) (1)

Из определения следует, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно

1) А+В=В+А – св-во коммутативности.

2) (А+В)+С=А+(В+С) - св-во ассоциативности.

3) А+0=А

2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на вещественное число λ называется матрица В=λА, элементы которой

b_ij=λa_ij, i=1,…,m; j=1,…,n (2)

Пример.

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) (λμ)А=λ(μА) – сочетательное относительно числового множителя;

2) λ(А+В)=λА+λВ – распределительное относительно суммы матриц;

3) (λ+μ)А=λА+μА - распределительное относительно суммы матриц.

Разностью матриц А и В одинаковых порядков m и n называется матрица С таких же порядков, которая в сумме с матрицей В дает матрицу А. С=А-В. Матрица С может быть получена по правилу С=А+(-1)В.

3. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы в. Произведением матриц А_mxk и B_kxn называется матрица C_mxn, каждый элемент с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В: с_ij=a_i1b_1j+ a_i2b_2j+…+ a_ikb_kj= , i=1,2,…,m; j=1,2,…,n (3)

Пример. А= , В= , АВ=

Свойства произведения матриц.

1) (АВ)С=А(ВС) – ассоциативное свойство;

Доказательство. заметим, что если А_mxn, B_nxp, C_pxs, то элемент d_ij матрицы (АВ)С в силу (3) равен d_ij= , а элемент матрицы А(ВС) равен = . Тогда равенство d_ij= получаем из возможности изменения порядка суммирования относительно j и k.

2) (А+В)С=АС+ВС или А(В+С)=АВ+АС – дистрибутивное относительно суммы матриц свойство.

Доказательство. Если матрицы А и В имеют размер m´n, а матрица С - n´k, то

= = = = + =(АС)_ij+(BC)_ij=(AC+BC)_ij

3) λ(АВ)=(λА)В=А(λВ) - сочетательное относительно числового множителя/

4) Существует такая матрица ЕÎ M_n(R), что "АÎ M_n(R)ÞАЕ=ЕА=А.

В качестве матрицы Е можно взять единичную матрицу.

5) "АÎ M_n(R)ÞАQ=Q (нулевая матрица).

Относительно свойства коммутативности произведения матриц отметим следующее:

1) Если произведение матриц АВ существует, то произведение ВА может и не существовать. Например, если А_3х5, В_5х4, то произведение АВ существует, а произведение ВА не существует, т.к. число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.

2) Если существуют произведения АВ и ВА, то они могут быть матрицами разных размеров. Например, найдем АВ и ВА, если А= , В= ,т.е.

3) Если А и В квадратные матрицы одного порядка, то произведения АВ и ВА существуют и оба являются матрицами одинакового порядка. Но при этом коммутативный (переместительный) закон умножения не выполняется, т.е. .

Например, АВ= , ВА=

4) Если D–диагональная матрица порядка n такая, что все ее диагональные элементы равны между собой D= , тогда справедливо равенство AD=DA. (+док-во)

Д-во. Пусть с_ij и элементы, стоящие на пересечении i-й строки и j-го столбца матриц AD и DA соответственно. Тогда, с_ij=а_ijd, =dа_ij, т.е. с_ij= .

Кроме того, для квадратных матриц верны следующее свойство: АЕ=ЕА=А, А0=0А=0.

5.) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, те. Из того, что АВ=0 не следует, что А=0 или В=0.

Например, А= В= , АВ=

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА.

4) Возведение в степень. Целой положительной степенью А^m (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е. .

Эта операция определена только для квадратных матриц. Пример.

,

Свойства степени матрицы.

1. По определению: А⁰=Е, А¹=А;

2. ; 3) .

Из того, что А^m=0 не следует, что А=0.

5) Транспонирование матрицы – переход от матрицы А_mxn к матрице (А^Т), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А^Т называется транспонированной относительно матрицы А.

Пример. А_3х2= ,

Свойства операции транспонирования. (Док-ть сам-но)

1. (А^Т)^Т=А; 3) (А+В)^Т=А^Т+В^Т;

2. (λА)^Т=λА^Т; 4) (АВ)^Т=В^ТА^Т.

Доказательство. 1)((А^Т)^Т)_ij=(A^T)_ji=A_ij

3) (А+В)_ij^Т=(A+B)ji=A_ji+B_ji=А^Т+В^Т

4) (АВ)_ij^Т=(AB)_ji= = = =(В^ТА^Т)_ij

Матрица А называется симметрической, если А=А^Т. Пример: А= /

Если А^Т=-А, то матрица А называется кососимметрической.

Элементы симметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагонали, равны между собой.

Элементы кососимметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагонали, отличаются знаком, а диагональные равны нулю.

Блочные матрицы. Предположим, что некоторая матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. Например, матрицу

А= можно рассматривать как блочную А= , где А₁₁= , А₁₂= , А₂₁= , А₂₂=

Основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.

Пусть блочные матрицы А=(Аab) и В=(Вbg) удовлетворяют следующим условиям: 1) Число «блочных» столбцов матрицы А совпадает с числом «блочных» строк матрицы В.

2) Для любых индексов a, b, g число столбцов у матрицы Аab совпадает с числом строк у матрицы Вbg.

Тогда АВ=(Сag), Сag= .

Пример. , , .

Прямой суммой двух квадратных матриц А и В порядков m и n называется квадратная блочная матрица С порядка m+n, равная С= =АÅВ.

Из определения следует, что прямая сумма не является коммутативной, т.е. АÅВ¹ВÅА. Но справедливо свойство ассоциативности: (АÅВ)ÅС=АÅ(ВÅС).

В результате выполнения операций в левой и правой частях равенства получается одна и та же блочно-диагональная матрица:

А также справедливо следующие свойства:

(А_mÅA_n)+(B_mÅB_n)=(A_m+B_m)Å(A_n+B_n),

(A_mÅA_n)(B_mÅB_n)=A_mB_mÅA_nB_n

В этих формулах А_m и B_m – произвольные квадратные матрицы порядка m, а А_n и B_n – произвольные квадратные матрицы порядка n.

Эти записи означают следующее:

+ =

=