30. Означення та основні властивості синуса і арксинуса, косинуса і арккосинуса дійсної та комплексної змінної. Графіки функцій.

Т-(о сущ. непрерыв. обр. фу-ции) Пусть фу-ция определена непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке ( ) определена непрерывна и возрастает обратная функция .

1) - эта функция обратной не имеет.

Рассмотрим . Обратной для этой фу-ции является:

.

2)

Обратная функция:

Ф ункція на відрізку зростає і неперервна. За теоремою про неперервність оберненої функції, обернена функція або (після зміни позначень) існує, означена на відрізку , зростає і неперервна на цьому відрізку. Графік функції (Рис. 1) можна знайти за допомогою повороту на 180° навколо прямої графіка функції

Ф ункція на відрізку спадає і неперервна. За теоремою про неперервність оберненої функції, обернена функція або (після заміни позначень змінних) існує, означена на відрізку , спадає і неперервна на цьому відрізку. Графік функції (рис.2) можна знайти за допомогою повороту на 180° навколо прямої графіка функції .

Рассмотрим два степенных ряда (1)

(2)

Найдем области сходимости этих рядов: (3)

Ряд (3)- сходится при любом z, а поэтому ряд (1) абсол. сход. на всей комплексной плоскости.

(4)

Ряд (4)- сходится при любом z, а поэтому ряд (2) абсол. сход. на всей комплексной плоскости.

Оба ряда сходяться абсолютно на всей комплексной плоскости, поэтому на всей комплексной плоскости определены сумы этих рядов, которые мы обозначим

Замеч. Введенные определения ф-ций гарантирует их совпадение с известными ф-ми в случае действительного z.

Свойства тригонометрических ф-ций комплексной переменной.

1. - формула Эйлера

Д-во:

С.Д

2.

(формулы Эйлера)

Д-во:

3.

4. Из свойства 3

5.

Свойство доказыв. на основе св.3

6.

7. Ф-ции являются неограничеными ф-ми на комплексной плоскости

8.

Обратные тригонометрические ф-ции.

Опр. Ф-ци обратные к тригонометрически ф-циям назыв. обратными тригонометрическими и обозначаются соответственно .

Получим явное представл. обратных тригоном. ф-ций

Функция - является многозначной за счет многозначности корня и логарифма.