17. Знакозмінні ряди. Теорема Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди і їх властивості.

Опр. Ряд назыв. знакопеременным если среди его членов есть как положительные так и отрицательные члены.

Опр. Знакочередующимся назыв. ряд вида ,

( , - тоже знекочеред. ряд)

Т.(Признак Лейбница) , если

Д-во: Обозначим через - n-ную частичную суму даного ряда и рассмотрим ее подпоследовательность .

Рассмотрим теперь частич. сум. непарного порядка , тоесть .

, перейдем к пределу при

Получили , тоесть ряд сходится

Пример:

Следствие: Если ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, то сума его - остатка , удовлетворяет неравенство .

Д-во: - знакочередующ. ряд, тогда для него выполн. нерав. (*)

Переходя в неравенстве (*) к пределу, получим

Критерий Коши сходимости числового ряда.

Сходимость мы определили через сходимость его частичных сум.

Т. Для того чтобы ряд был сходящимся, необходимо и достаточно

Пример. Доказать расходимость гармонического ряда

- расходится.,

Возьмем тогда

Т. Если сходится ряд , то ряд - также сходится.

Замечание: Ряд является положительным, для иследования его сходимости можно использовать все признаки сходимости положительных рядов.

О пр. Если - сходится, то ряд - назыв. абсолютно сходящимся. Если ряд - расходится, а ряд -сходится, то ряд назыв. условно сходящимся.

П римеры: 1) 2)

Замечание: В отличии от положительных рядов, сходимость знакопеременных рядов определяется двумя условиями: 1) скорость стремления к нулю общего члена ряда. 2) взаимное погашение ряда с противоложными знаками.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Т1.Если ряд - сход. абсолютно, то ряд - сход. абсолютно.

Т2.Если ряды и сходятся абсолютно, то - сходятся абсолютно.

Замечание: Если у ряда все члены отрицательны, то исследование его сходимости приводит к исследованию сходимости положительного ряда.

Если ряд содержит конечное число отрицательных членов, то исследов. его сходимости можно привести к исследованию остатка не содерж. отрицательных членов.

Если ряд содержит конечное число положительных членов, то исследование его сходимости можна привести к исследованию остатка содержащего лишь отрицательные члены.

Таким образом представляют интерес ряды у которых бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов ряда.

Пусть такой ряд. Обозначим через - неотрицательные члены этого ряда, а через - модули отрицательных членов этого ряда.

Даному ряду мы поставим в соответствие два положительных ряда и

Пример: , ;

Т3. Пусть - ряд с произвольными членами, - ряд составленный с неотрицательных членов этого ряда, - ряд состав. с модулей отрицательных членов этого ряда, если:

1) - сход. абсолютно , - сходятся, ;

2) - сход. условно , -расходятся.

Т4. Если ряд сходится абсолютно и его сума равна S, то ряд полученный из данного произвольной перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет туже суму S.

Зам. Если ряд сходится лишь условно, то при перестановке его членов, можно получить ряд сума которого не равна суме исходного ряда.

Т5.(Римана) Если ряд сх. условно, то для любого наперед заданого числа S, члены ряда можна переставить, так что, ряд полученный перестановкой членов будет иметь суму= S.

Замеч. Перестановкой членов условно сходящего ряда можно получить расход. ряд.

Пусть даны два ряда и .

	…
	… … … … … … … …

Опр. Произведением рядов и назыв. ряд .

Т. Если ряды и сход. абсолютно и имеют сумами числа А и В соответственно, то произведение данных рядов также сход.абсол. и сума произведения .

Пример: Найти квадрат ряда