1. Знайдіть похідні функцій:
а)
у
= х3
+ х – х4; б)
;
в)
; г)
.
Відповідь:
а)
; б)
; в)
;
г)
.
2. Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х0:
а)
;
б)
;
в)
.
Відповідь: а) 1; б) ; в)-1.
3. При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорівнює 0:
а)
; б)
; в)
.
Відповідь:
а)
; б)
; в)
.
ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку
Теорема.
Якщо функції f(x)
і g(x)
диференційовані в точці х, то їхній
добуток також – диференційована функція
в цій точці і
,
або
коротко говорять: похідна добутку двох
функцій дорівнює сумі добутків кожної
функції на похідну другої функції
Доведення.
Розглянемо функцію
.
Зафіксуємо х0
і надамо аргументу приросту
,
тоді
1) 
Оскільки
,
,
то
.
2)
.
Отже,
.
Наслідки
а) Постійний
множник можна винести за знак похідної:
.
Дійсно,
.
б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:
.
Приклад. Знайдіть похідні функцій:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
Розв’язування
а) 
;
б)
;
в)
.
Виконання вправ.
1. Знайдіть похідну функцій:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Відповідь: а) 6х-5; б) 
;
в) 
; г) 
.
2. Знайдіть похідні функцій:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Відповідь: а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3. Знайдіть похідні функцій:
а) 
; б) 
.
Відповідь: а) 
;
б) 
.
IV. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій
Теорема.
Якщо функції f(x)
і g(x)
диференційовані в точці х і g(x)
,
то функція
диференційована в цій точці і
.
Доведення
Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.
Нехай
,
тоді f(x)=у(х)
.
Знайдемо похідну функції f(x),
скориставшись теоремою про похідну
добутку,
.
Виразимо з цієї формули
і
підставимо замість у(х) значення
,
тоді будемо мати:
.
Отже,
.
Приклад: Знайдіть похідні функцій
а) 
; б) 
.
Розв’язання
а) 
.
б) 
.
Виконання вправ
1. Знайдіть похідні функцій:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Відповідь: а) 
; б)
;
в) 
; г) 
.
2. Знайдіть похідні функцій:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
Відповідь: а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
V. Домашнє завдання
Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23 – 27. вправа № 10 (1 -5, 7 - 8).
ТЕМА УРОКУ: Похідна складеної функції
Мета уроку: Формування поняття про похідну складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції.
І. Перевірка домашнього завдання
1) 
;
2)
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
.
2. Самостійна робота.
Варіант 1.
1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х0:
а) 
,
х0=-1. (2
бали)
б) 
. (2
бали)
2. Знайдіть похідну функцій:
а) 
. (2
бали)
б) 
. (2
бали)
в) 
. 42
бали)
Варіант 2.
1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргумента х0:
а) 
,
х0=-1. (2
бали)
б) 
. (2
бали)
2. Знайдіть похідну функцій:
а) 
. (2
бали)
б) 
. (2
бали)
в) 
. 42
бали)
Відповідь:
В-1.
1. а)
; б)
-1
2.
а)
; б)
; в)
В-2.
1. а)
; б)
1
2.
а)
; б)
; в)
.
ІІ. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної
Розглянемо приклад.
Приклад
1. Нехай
треба обчислити по заданому значенню
х значення функції у, яка задана формулою
.
Для
цього спочатку треба обчислити за даним
значенням х значення u=
,
а потім за значенням u обчислити у=
.
Отже,
функція g
ставить у відповідність числу х число
u, а функція f
– числу u число у. Говорять, що у є
складеною функцією із функції g
і f,
і пишуть
.
Функцію g(х) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) – зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції в довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).
Приклад
2. Розглянемо
функцію
.
Вона
є складною із функцій
,
де
- внутрішня функція,
- зовнішня функція.
Приклад
3. Запишіть
складні функції
і
,
якщо
Розв’язання
Виконання вправ.
1.
Задайте формулою елементарні функції
і
,
із яких побудована складна функція
:
а)
б)
в)
г)
Відповіді: а)
б)
;
в)
г)
.
2.
Дано функції:
.
Побудуйте функції:
а)
; в)
; в)
;
г)
; в)
; є)
.
Відповідь:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
є)
У
складній функції
присутня проміжна змінна
.
Тому при знаходженні похідної складної
функції ми будемо вказувати, по якій
змінній взято похідну, використовуючи
при цьому спеціальні показники:
– похідна
функції у по аргументі х;
– похідна
функції у по аргументі u;
– похідна
функції u
по аргументі х;
Теорема. Похідна
складеної функції
знаходиться
за формулою
,
де
,
або похідна складеної функції дорівнює
похідній зовнішньої функції по проміжній
змінній, помноженій на похідну внутрішньої
функції по основному аргументу.
Доведення
Будемо
вважати, що функція
має похідну в точці х0,
а функція
має похідну в точці u0=
,
тобто існують границі
,
і
.
Нехай,
аргументу х0
надано приросту
,
тоді змінна u набуде приросту
.
Поскільки
одержала приріст
,
то функція у одержить також приріст
.
Приріст
зумовив
виникнення приросту
і
.
Подамо
.
Перейдемо до границі при
(при цьому
).
або
.
Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3х3-1)5.
Розв’язання
у
= (3х3-1)5
– складена функція
,
де u =3х3-1,
тоді
,
.
При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u5 на похідну від функції 3х3-1:
.
Приклад 2.Знайдіть похідні функцій:
а)
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Розв’язання
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Виконання вправ.