5.4.5Синдромное декодирование

Синдромом вектора называет вектор , где - проверочная матрица. Если а - кодовый вектор, то, очевидно, . Утверждается, что все векторы, принадле­жащие одному смежному классу, имеют совпадающие синдромы. Действительно, если

и - векторы одного смежного класса с образующим, равным , то , , т.е. .

Синдромы разных смежных классов различны. Декодирование будет состоять в вычислений синдрома ; нахождении в памяти лидера, соответствующего этому синдрому, выдачи результата декодирования в виде .

Кодирование проще выполнять систематическим кодом. В этом случае необходимо вычислить значения проверочных символов. Каждый проверочный символ согласно алгоритму кодирования (матричное умноже­ние) есть сумма по модулю два самое большее информационных симво­лов. Следовательно, число двоичных сумматоров в схеме кодера будет не больше . Для согласования скоростей приема безизбыточных данных от источника и передачи закодированного сообщения в канал мо­жет потребоваться входной и выходной буферы из и ячеек памяти. Общая сложность , где - скорость кода.

Сложность декодера в первую очередь зависит от того, обнаруживаем мы ошибки или исправляем, является декодер полным или неполным. Декодирование по максимуму правдоподобия называют еще декодировани­ем по манизму расстояния. Принятая комбинация сравнивается по мет­рике Хэмминга с каждой из кодовых и выбирается как решение та кодо­вая комбинация, к которой ближе всего принятая последовательность. Значит, потребуются - разрядных схем сравнения, буферные регистры и память для кодовых слов. Общая сложность составит , т.е. растет по экспоненте в зависимости от числа информационных разрядов. В неполном декодере пре­дусматриваются сравнение полученного наименьшего расстояния со зна­чением кодового расстояния, и отказ от декодирования, если это рас­стояние больше .

При синдромном декодировании на вычисление синдрома потребуется не более сумматоров и для полного декодера необходима память лидеров смежных классов (вариантов направляемых ошибок) на -разрядных слов. Общая сложность будет составлять , т.е. сложность синдромного декодера растет по экспоненте в зависимости от числа избыточных символов. Если ошиб­ки только обнаруживать, сложность декодера будет определяться схемой вычисления синдрома .

Относительно синдромного декодирования надо сделать два замечания. Во-первых, не обязательно в качества лидеров смежных классов надо брать векторы наименьшего веса. Вместо хэммингового расстояния в канале с пакетированием надо использовать комбинаторную метрику, т.е. исправлять наиболее вероятные варианты ошибок - пакеты. Во-вторых, не обязательно в памяти хранить все варианты ошибок, можно ис­пользовать математическую структуру кода (например, цикличность).

5.4.6Мажоритарный декодер.

Основная идея, лежащая в основе алгоритма, заключается в том, что информационные символы могут быть вычислены через канальные символы разными способами. Решение выносится голосованием по большинству. Требуется, однако, выполнение некоторых условий к проверочным соотношениям. Это означает, что не любой код допускает мажоритарный вариант декодирования. Рассмотрим код с . Его проверочная матрица:

Проверочные соотношения, определяющие синдром, будут следующими: или .

Поскольку, если нет ошибок, все , то и комбинации . Система проверок называется разделенной относительно последнего символа. Он входит во все проверочные соотношения, каждый другой символ только в одно. Если произошла одна ошибка в позиции , то получим . Если одна ошибка в любой другой позиции получим три единицы и ноль. Значит, ошибку в 14 позиции исправим по правилу: если , то , иначе .

Любая комбинация из двух ошибок, не содержащая , приведет к нарушению не более двух уравнений, а содержащая не менее трех. Значит можно по тому же правилу исправлять и все двойные ошибки. Рассматривается циклический код, поэтому ошибки в остальных позициях тоже исправляются по четырем соотношениям после циклического сдвига.

Рассмотренный код является кодом с одношаговым разделением. Более общий случай - -шаговое разделение. Основное достоинство алгоритма мажоритарного декодирования – простота. Если нужна высокая скорость и умеренный выигрыш от кодирования, то надо применять этот алгоритм. Ниже приведена схема декодера - кода.