3.2Математическое представление сигналов.

В зависимости от типа передаваемого сигнала, каналы подразделяются на непрерывные (аналоговые) и дискретные. В канале, непрерывном по амплитуде и во времени, сигнал может принимать в любой момент времени любое из непрерывного ряда значений (из бесконечно большого количества). В канале, дискретном во времени, сигнал может меняться лишь в определенные моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал дискретизации. В большинстве случаев интервал дискретизации постоянен (на время работы), и можно говорить о периоде дискретизации и обратной величине - частоте дискретизации F_д. В чисто дискретном (цифровом) канале сигнал, дискретный во времени, может принимать одно из конечного множества состояний.

Дискретные сигналы представляют собой последовательности слов (которые не всегда являются числами); такая форма удобна и естественна для цифровых вычислительных систем.

Сигналы могут быть представлены в виде функций от времени s(t) либо функций от частоты. Представление в области времени вполне очевидно - это развертка значения (амплитуды) сигнала во времени, которое , например, можно наблюдать на осциллографе.

Пусть имеется функция времени S(t) на конечном интервале (t₁, t₂) и есть ортогональная система функций . Ортогональность означает, что: ).

Утверждается, что

где .

Последнее означает, что функция, заданная на конечном временном интервале, представима в виде ряда по системе ортогональных функций. Если S(t) - периодическая, то она представима в виде ряда на всей оси времени.

Наиболее часто в качестве ортогональных функций берутся тригонометрические функции . Тогда получается тригонометрический ряд Фурье:

, , k=0,1,2

Если воспользоваться формулами Эйлера и перейти к комплексной переменной, то получим экспоненциальную форму ряда Фурье:

, , (формула Эйлера).

Набор коэффициентов a_k , b_k или _k называют амплитудным спектром сигнала.

Большая часть реальных сигналов требует задания на бесконечном промежутке времени и не является периодическими. Чтобы представить такие сигналы используются прямое и обратное преобразование Фурье или спектральную плотность:

- спектр функции (t) или прямое преобразование Фурье.

- обратное преобразование Фурье.

Для расчета спектра функционально связанных сигналов полезно использовать ряд свойств. Перечислим их без доказательств. Будем обозначать символически прямое преобразование Фурье как F {v(t)}, а обратное F^-1 {V( )}.

1. Свойство изменения масштаба

, a – действительное число

2. Свойство линейности

3. Свойство симметрии

4. Свойство запаздывания

5. Теорема модуляции

6. Свойство дифференцирования

или

7. Свойство интегрирования

8. Теорема о спектре свертке функций

9. Теорема о спектре произведения функций

10. Теорема Рэлея (энергия сигнала равна энергии спектра)

Для существования преобразования Фурье требуется абсолютная интегрируемость функций, т.е. . Широко распространенные модели сигналов в радиотехнике, такие как единичный скачок u(t), гармоничное колебание , не обладают свойством абсолютной интегрированности, и в строгом смысле не имеют преобразования Фурье. Чтобы эту трудность обойти прибегают к искусственному приему. Один из способов преодолеть эту трудность сводится к введению несколько необычной функции Дирака или - функции (единичный импульс) – другое ее наименование.

Определим эту функцию, задав ее свойства:

1. 

2. - симметричность (четная относительно t₀)

3. , т.е.

4. - фильтрующее свойство.

Ф изически эту функцию можно представить себе как предельную последовательность обычных функций. Например, прямоугольных импульсов, имеющих площадь равную единице, когда .

Можно взять и функцию отсчетов , тогда

Обратное преобразование определим формально – это - функция.

Стробирующая функция

Преобразование Фурье от постоянной составляющей (t)=A найдем как предел стробирующей функции с амплитудой А при .

Гармонический сигнал

Единичный скачок

Представим u(t) в виде .

Вычтем среднее значение , получим .

Согласно теореме интегрированности по времени

, т.е.

Третий способ математического задания сигналов, который принципиально важен и позволяет рассматривать передачу любого сообщения и дискретного и непрерывного с единой позиции как передачу чисел (данных), основан на теореме Котельникова.

Формулировка теоремы Котельникова следующая: Если непрерывная функция времени имеет спектр, ограниченный полосой частот от 0 до F Гц, удовлетворяет условиям Дирихле, то она полностью определяется своими мгновенными значениями, отстоящими друг от друга на 1/F с.

Теорема устанавливает возможность полного восстановления детерминированного сигнала с ограниченным спектром по его отсчетам и указывает предельное значение времени между отсчетами, при котором такое восстановление еще возможно. Непрерывный сигнал, таким образом, может быть задан в цифровой форме в виде последовательности мгновенных значений.