5.4.3Свойства линейных кодов

Так как расстояние между двумя векторами и равно весу суммарного вектора , а для линейного кода суммар­ный вектор тоже принадлежит коду, то кодовое расстояние равно минимальному весу множества кодовых векторов . Поскольку минимум берется по всем векторам кода А отличным от нулевого, то для поиска кодового расстояния достаточно сравнений. Для произвольного кода число сравнений равно . По виду матрицы Н можно судить о защитных свойствах кода, в частности, о значении кодового расстояния.

1. Теорема. Если любые столбцов матрицы линейно независимы, то кодовое расстояние не меньше, чем .

Доказательство. Пусть матрица Н обладает свойством, что столбцов линейно независимы, - кодовый вектор. Тогда или, раскрыв матричную запись, получим . Число элементов (т.е. столбцов Н), реально участвующих в проверках, очевидно, равно числу ненулевых компонент вектора , т.е. весу кодового вектора. В силу условия линейной не­зависимости столбцов матрицы Н равенство нулю возможно только при d или большем числе ненулевых ;. Значит, минимальный вес ко­дового вектора равен d или больше и кодовое расстояние тоже d или больше. Теорема доказана.

Можно, как следствие, заметить, что если все столбцы матрицы Н различны, то кодовое расстояние равно трем или больше. Действительно, при всех различных столбцах никакие два из них в сумме не равны нулю, т.е. линейно независимы. Отсюда .

2. Если имеется модулярное представление кода, в частности дво­ичного, то спектр этого кода можно найти на основании теоремы Макдональда.

Веса каждого из ненулевых кодовых слов двоичного группового кода могут быть найдены как компоненты вектора, получающегося в результате матричного умножения (как матриц с действительными числами) вектора модулярного представления кода на матрицу : или . Веса кодовых слов оказываются упорядоченными так же, как кодовые слова в матрице .

3. Граница Синглтона. Минимальный вес любого линейного -кода удовлетворяет неравенству .

Доказательство. Ненулевое слово минимального веса имеет вес d. Имеются слова в систематическом коде о одним ненулевым информационным символом. Так как еще имеется только проверочных символов в слове, то вес не может быть больше . Код с называется кодом с максимальным расстоянием.

4. Спектры линейного кода А и двойственного ему взаимосвязаны. Эта связь оказалась весьма полезной для расчета спектров многих блоковых кодов. Пусть - спектральная функция -кода А, - спектральная функция . Согласно тождеству Мак-Вильямс:

(*)

Спектры кодов до в настоящее время находятся с помощью ЭВМ. С помощью (*) удается найти спектр кода большей длины, лишь бы число проверочных символов не превышало 32.

5.4.4Декодирование линейных кодов. Алгоритм максимального правдоподобия.

Под декодированием обычно подразумевают процедуры исправления ошибок. Алгоритмов исправления много. Это обусловлено тем, что не всегда пытаются реализовать весь потенциал кода по исправлению ошибок и за счет этого сложность технической реализации весьма существенно снижается.

Декодер может быть полным, т.е. всегда выносить решение, или неполным, когда возможно стирание блоков, ошибки в которых не могут быть исправлены. Риск ошибиться у полного декодера гораздо больше.

Наиболее общим способом декодирования, реализующим всю корректирующую способность кода, является декодирование по максимуму правдоподобия (минимуму расстояния). Суть его – сравнение принятого из канала слова с каждым из возможных кодовых слов и вынесения решения в пользу того кодового слова, к которому ближе всего канальное слово. Сложность такого декодера велика, растет по экспоненте в зависимости от числа информационных символов. По этой причине, в чистом виде декодер такого типа для длинных кодов нереализуем, но за счет использования дополнительной информации о ненадежных символах блока, пространство поиска резко сужается. Такой декодер часто применяется.

Чтобы реализовать этот метод, целесообразно построить таблицу стандартной расстановки. Как эта таблица получается, проще всего пояснить на примере группового кода, код в этом случае есть подгруппа. Элементы подгруппы - кодовые комбинации. Их запишем в первую строку таблицы, поместив нулевую комбинацию в начало, и разложим группу по смежным классам. Все возможные на приеме последовательности будут содержаться в таблице.

Лидеры смежных классов		.			…
		.			…
		.			…
	Смежный класс
		.			…
		.			…

Каждая строка образует смежный класс. Первый элемент строки называют лидером смежного класса (образующим). Если в качестве лидеров выбраны элементы строки с минимальным весом, то приведенная таблица называется стандартной расстановкой. Весом смежного класса считают вес его лидера.

Пусть а - переданное слово; - принятая последовательность. Если используется ДСК без памяти, то в качестве лидеров надо выбирать векторы ошибок наиболее вероятные, т.е. с одиночной ошибкой, двойной и т.д., пока позволяют свойства кода. Декодирование будет состоять в следующем:

• находится в таблице последовательность, равная ;

• определяется лидер той строки, в которой оказалась последовательность ;

• вычисляется как результат декодирования.

Ценность стандартной расстановки относительна. Для больших и технически реализовать такую таблицу на ЭВМ становится невозможным. Это не означает полного отрицания метода декодирования по максимуму правдоподобия. Обычно за счет дополнительной информации о достовер­ности символов удается ограничить "объем пространства" просматривае­мых комбинаций. Типичным примером являются алгоритмы Чейза [13].