5.4.2Задание линейных кодов

Пусть - линейное -мерное пространство над полем . Линейным блоковым -м кодом размерности длины называется всякое -мерное подпространство пространства . Для обозначения линейного кода используется символ -код.

Встречается другое название линейного кода (групповой код), которое связано с понятием группы. Двоичный код называют групповым, если сумма двух любых его кодовых слов есть снова кодовое слово. Это есть следствие из свойств группы.

Существует несколько способов задания линейных кодов. В зависимости от целей и задач оказывается удобным тот или иной способ представления.

1. Очевидно, что к линейно независимых векторов подпространства А, образующих его базис , позволяют выразить любой вектор этого пространства: ; , , - базисные векторы. Такой способ задания кода удобен для доказательства теорем, исследования свойств кода.

2. Если полученное соотношение записать в матричной форме

, , ,

где

то придем ко второй форме задания линейного кода. Матрица G , строки которой есть k линейно независимых векторов кода (например, базис­ные векторы, представленные через свои компоненты), называется порождающей матрицей -кода. Набор является информационным , . Набор - закодированное информационное сообщение.

Ясно, что для любого -кода А существует не одна порождающая матрица, так как всякая матрица QG , где Q - невырожденная матрица размером , тоже является порождающей матрицей -ко­да.

За счет перенумерации координат и выбора образующих векторов всегда можно порождающую матрицу привести к каноническому виду , где Е – единичная матрица размера , а В – произвольная матрица размера :

;

; ; ; .

Код, заданный канонической матрицей, является систематическим, т.е. проверочные и информационные символы разделены.

3. Задание кода с помощью проверочной матрицы .

Если задан код А как подпространство пространства размерности , то существует подпространство , ортогональное (называемое нулевым) размерности . Это подпространство дает тоже линейный код. Обозначим его . Он называется дуальным (двойст­венным) к А.

Обозначим через Н порождающую матрицу кода . Тогда код А можно определить как множество векторов таких, что

(*)

Матрица Н называется проверочной матрицей -кода. Если, как и раньше, обозначить компоненты вектора , элементы матрицы - , , , то развернутая запись матричного уравнения приведет к системе уравнений из штук вида .

Это означает, что компоненты любого кодового слова удовлетворяют со­вокупности линейных независимых однородных уравнений. Эти уравнения называется обобщенными проверками на четность. Для двоич­ного кода они представляет проверку на четность определенных групп информационных символов.

Так как уравнение (*) справедливо для всех слов кода, то оно справедливо и для строк порождающей матрицы (базисных векторов). Следовательно, проверочная и порождающая матрицы кода связаны соот­ношением .

Всякая проверочная матрица -кода комбинаторно эквивалентна матрице, представленной в канонической форме:

, , , .

Связь между проверочной и порождающей матрицей устанавливается следующей теоремой.

Пусть - порождающая матрица - кода, представленная в канонической форме, т.е. - единичная матрица разме­ра ; - матрица размера с элементами из поля . Тогда матрица - проверочная матрица -ко­да , представленная в канонической форме.

Задание кода проверочной матрицей удобно для осуществления де­кодирования.

4. Модулярное представление кода. Производящая матрица кода G может иметь разнообразие типов столбцов в штук, так как в столбце символов и чисто нулевой столбец не имеет смысла. Если все типы столбцов записать в виде матрицы М размерности , то код можно задать, указав положительных чисел , где - число столбцов типа в матрице G:

.

Это и есть модулярное задание кода. дает в результате все ненулевые кодовые векторы. Важную роль играет матрица . Это симметричная матрица, содержащая по одному столбцу каждого типа.