
- •Вечерний электрорадиотехнический факультет
- •3.2Математическое представление сигналов.
- •3.3Аналоговые линии и каналы передачи информации
- •3.3.1Классификация кабелей связи
- •3.4Математические модели аналоговых линий и каналов связи.
- •3.4.1Искажения сигналов, вызванные ограниченностью ачх
- •3.4.2Искажения сигнала из-за нелинейности фчх
- •3.4.3Электрические параметры кабелей. Математическая модель кабельной цепи.
- •3.4.4Система многоканальной связи с частотным разделением каналов
- •3.4.5Системы многоканальной связи с временным уплотнением
- •3.5Каналы тональной частоты и их характеристики
- •3.6Математические модели дискретных каналов связи
- •3.6.1Модель двоичного симметричного канала
- •3.6.2Модель
- •3.6.3Модель на основе опп
- •4Помехоустойчивость передачи данных
- •4.1Общий принцип генерации сигналов – «данных»
- •4.2Восстановление вектора по сигналу
- •4.3Прием сигналов как задача теории решений
- •4.4Потенциальная помехоустойчивость
- •4.5Приемник на согласованных фильтрах
- •4.6Расчет вероятности ошибок при приеме дискретных сигналов
- •4.7Примеры помехоустойчивых систем сигналов
- •4.7.1Бинарные противоположные сигналы
- •4.7.2Бинарные ортогональные сигналы
- •4.7.4Биортогональные сигналы
- •4.7.5Сигналы с прямоугольной конфигурацией векторов
- •4.7.6Симплексные сигналы
- •5Помехоустойчивое кодирование
- •5.1Основные понятия теории кодирования
- •5.2Примеры корректирующих кодов
- •5.2.1Код с четным числом единиц
- •5.2.2Коды с постоянным весом
- •5.2.3Инверсный код с повторением
- •5.2.4Код Хэмминга
- •5.2.5Модифицированный код Хэмминга
- •5.3Классификация избыточных кодов
- •5.4Линейные коды
- •5.4.1Алгебраические основы теории кодирования
- •5.4.2Задание линейных кодов
- •5.4.3Свойства линейных кодов
- •5.4.4Декодирование линейных кодов. Алгоритм максимального правдоподобия.
- •5.4.5Синдромное декодирование
- •5.4.6Мажоритарный декодер.
- •5.5Циклические коды. Необходимое и достаточное условие цикличности.
- •5.6Способы задания и кодирование циклическими кодами
- •5.7Разложение двучленов примитивной длины на простые множители
- •6.6.1 Коды бчх. Выбор образующих многочленов.
- •5.8Разложение двучленов непримитивной длины на простые множители
- •5.9Основные теоремы об ошибках, обнаруживаемых циклическими кодами
- •5.10Способы декодирования с исправлением ошибок. Декодеры Меггита.
- •5.11Декодер Питерсона-Горенстейна-Цирлера
- •6Модемы
- •6.1Интеллектуальные возможности модемов
- •7Стандарт ат-команды
- •8Протоколы исправления ошибок arq.
- •8.1Формат кадра
- •9Схема построения сети Интернет
3.6.1Модель двоичного симметричного канала
В
простейшем случае дискретный канал
связи может быть представлен как
симметричный канал без памяти (ДСК),
т.е. такой стационарный дискретный
канал, в котором вероятности искажения
любого из символов 0 или 1 одинаковы. В
этом канале вероятность передачи не
зависит от статистики передаваемой
последовательности. Воздействие помехи
можно представить как позиционное
суммирование входной последовательности
символов, выдаваемых условным источником
помехи, статистическая характеристика
которой полностью определяет канал. В
ДСК ошибки кратности
подчиняются
биномиальному закону распределения,
поток ошибок задается через вероятность
ошибки бита р.
Вероятность
-кратной
ошибки на блоке из
символов
равна:
Поток
ошибок в ДСК без памяти является процессом
восстановления с геометрическим
распределением интервалов между ошибками
.
Параметр
легко находится по экспериментальным
данным
,
здесь
- число ошибочных символов за сеанс
связи,
- число символов переданных за этот
сеанс.
К сожалению число реальных каналов, ошибки которых описываются моделью ДСК весьма мало. Это обычно каналы высокого качества локальных сетей. Основное достоинство данной модели – простота и возможность оценки по ней потенциальных границ вероятностных характеристик качества доставки сообщений в системе.
3.6.2Модель
В основу построения модели положено понятие плотности ошибок порядка . Это неслучайная функция аргументов и .
.
В
числителе сумма есть среднее число
ошибок на блоке длинной
,
содержащих
или
больше ошибок. Значения плотности
порядка
ограничены снизу величиной
,
а сверху единицей, т.е.
.
Значения
не убывают с ростом
;
и
.
По величине плотности
можно
судить о степени группирования ошибок,
если считать, что увеличение доли ошибок
высших кратностей идентично увеличению
степени группирования. Экспериментально
установлено, что для многих каналов
,
если выполняются условия
,
больше
хотя бы в несколько раз. Параметр
носит название показатель
группирования
.
Если
,
пакетирования нет, имеем канал с
независимыми ошибками;
соответствует каналу с «жестким»
пакетированием ошибок.
Достаточно просто доказывается, что
.
Вероятность
приема блока ровно с
ошибками равна
.
Если
использовать приближение
,
то
,
и
.
На практике обычно применяют еще более простое соотношение
.
Это
верхняя граница вероятности
.
При
точные значения
близки к верхней границе.
Таким
образом, модель
задается соотношением
.
Параметр модели - вероятность ошибки символа, находится как и для канала ДСК.
Параметр
находят из уравнения
.
Получаем
.
Достоинством
модели является учет факта пакетирования
ошибок, что имеет место в большинстве
реальных каналов, возможность единообразно
описания разных типов каналов. Так в
кабельных каналах значения
максимально
.
В КВ радиоканалах минимально
.
Недостаток модели – ее неполнота,
остается открытым вопрос о модели на
уровне блоков.
3.6.3Модель на основе опп
Наблюдаемое
пакетирование ошибок в каналах связи
при предположении о пуассоновском
характере потока можно объяснить, если
считать параметр
не константой, а случайной величиной
или процессом. Получающийся путем
рандомизации
новый случайный процесс называют
обобщенным пуассоновским
.
Будем считать
случайной величиной, закон распределения
которой известен
.
Тогда канал задается как поток ошибок
первым способом:
,
т.е.
формула для
сохраняется, но осуществляется усреднение
по параметру.
Поскольку вид и параметры закона распределения для реальных каналов обычно неизвестны, указанной выше формулой воспользоваться не удается.
По
экспериментальным данным относительно
легко можно найти закон распределения
интервалов между ошибками – функцию
Пальма-Хинчина
,
которая полностью определяет ОПП (второй
способ здания потока).
Используя производящую функцию вероятностей, в [*] доказана формула:
-
параметр потока,
и
-
вероятность отсутствия ошибок за время
.
[*]
Таким
образом, для ОПП, зная функцию распределения
интервалов между ошибками или
вычисляются вероятности
,
т.е. приходим к заданию потока первым
способом но конструктивным.
Рассмотрим один частный случай, когда распределение интервалов задается обобщенной гиперболой
,
.
Исследование записей потоков ошибок в телефонных каналах показало, что такая ситуация наблюдается довольно часто.
Для параметра потока тогда получается
.
и
.
Наиболее удобна для расчета вероятностей рекуррентная формула:
.
Неизвестные
параметры
и
легко находятся, например, методом
моментов, поскольку обобщенная гипербола
для интервалов между ошибками приводит
к гамма-распределению параметра
.
.
Это следует из выражения для
-
это преобразование Лапласа-Стильтьеса
функции
.
Зная
,
получаем
приведенное выше. Вычисляем по
экспериментальны данным среднее число
ошибок
на блоке в
бит и второй центральный момент
.
Приравниваем их теоретическим моментам гамма-распределения и из системы уравнений получаем
,
.
На
основании полученных значений
по модели мы можем найти
для любых интервалов
,
т.е. кодовых комбинаций другой значности.
Для тропосферного ТЛФ канала при
использовании ЧМ сигналов на скорости
1200 получено, например,
,
.
Особенно
ценно следующее свойство предложенной
модели потока ошибок. Многомерное
распределение однозначно определяется
с помощью одномерного:
.
Здесь многомерное распределение необходимо для того, чтобы выбирать способ защиты информации от ошибок при передаче по каналам. В частности, чтобы находить вероятности приема сообщения с нескольких повторов.
Недостатки
модели – более трудоемкие формулы для
расчета, чем у моделей ДСК и
и тот факт, что не все каналы имеют
обобщенную гиперболу в качестве закона
распределения между ошибочных интервалов.