Частина III

“Аналіз перехідних процесів в електричному колі”

3.1. Вхідні дані для розрахунків:

е(t) = 12cos(1.8·10⁵ t-30^º)B ;

R₁ = R₂ = R₃ = 100 Oм , L = 0.45·10^-3 Гн, С = 100 нФ.

Рис. 3.1. Схема для розрахунків.

3.2. . Відповідно до заданого варіанта скласти схеми кола до комутації та після комутації; вивести аналітичний вираз для шуканої величини; накреслити графік перехідного процесу. Розрахунки провести операторним та класичним методами.

Для кола, обмеженого затискачами а-а’ та б-б’ (ключ в положенні замкнуто), розрахувати імпульсну h(t) та перехідну g(t) характеристики і накреслити їхні графіки.

3.3. Аналіз перехідних процесів в електричному колі класичним методом проводять у такій послідовності:

1. Складається схема кола до комутації, за якою визначають початкові значення струму через котушку індуктивності і_L(0) та напругу на конденсаторі u_c(0).

3.3.2. Складається схема кола після комутації, за якою

1. розраховують вимушену складову х_вим(t),

2. складають інтегро-диференціальне (або одразу ж характеристичне) рівняння для шуканої величини.

3. Визначають корені характеристичного рівняння (наприклад р₁ та р₂).

4. Вільну складову х_в(t) записують так:

,

де А та В довільні константи.

3. Повний розв’язок має вигляд х(t)=х_вим(t)+х_в(t).

3.3.6. Константи А і В визначають для повного розв’язку підстановкою початкових умов для t=0.

3.4. Аналіз перехідних процесів в електричному колі операторним методом проводять у такій послідовності:

1. Визначають початкові величини струму через котушку індуктивності та напруги на конденсаторі (із стаціонарного розв’язання для t=0).

2. Складають операторну схему кола після комутації і для неї записують операторне рівняння для шуканої величини.

3. Розв’язують це операторне рівняння і знаходять операторне зображення шуканої величини.

4. По операторному зображенню знаходять оригінал (за допомогою таблиць перетворень Лапласа, теорем розкладання, формули Рімана-Мелліна).

3.5. Аналіз перехідних процесів в електричному колі класичним методом .

3.5.1. Складємо схему кола до комутації, за якою визначимо початкові значення струму через котушку індуктивності і_L(0) та напругу на конденсаторі u_c(0).

Рис. 3.2. Схема кола до комутації.

2. Знайдемо комплексний опір кожної гілки.

(3.1.)

(3.2.)

(3.3.)

Підставимо вхідні дані у формули ( 3.1.)-( 3.4.) та отримаємо:

2. Преобразуємо схему ( Рис. 3.1. ) з урахуванням комплексного опору:

Рис. 3.3. Схема до комутації з урахуванням комплексного опору.

4. Знайдемо загальний опір кола:

( 3.5.)

( 3.6.)

Підставимо дані у формули ( 3.5.) , ( 3.6.) та отримаємо:

4. Знайдемо значення струму через задане коло (Рис. 3.3.):

( 3.7.)

Підставимо дані у формулу ( 3.7.) та отримаємо:

4. Знайдемо напругу на конденсаторі та струм через котушку індуктивності.

( 3.8.)

(3.9.)

( 3.10.)

Підставимо дані у формули ( 3.8.) - ( 3.10.) та отримаємо:

4. Визначимо початкові значення: напругу на конденсаторі та струм через котушку індуктивності.

Початкові значення та знайдемо з виразів:

( 3.11.)

( 3.12.)

Підставимо дані у формули ( 3.11.) , ( 3.12.) при t=0 та отримаємо:

3.6.1. Складемо схему кола після комутації, за якою розрахуємо вимушену складову х_вим(t), складемо інтегро-диференціальне (або одразу ж арактеристичне) рівняння для шуканої величини.

Рис. 3.4. Схема кола після комутації .

Використаємо значення і розраховані в пункті 3.5.2. :

2. Преобразуємо схему ( Рис. 3.4. ) з урахуванням комплексного опору:

Рис. 3.5. Схема кола після комутації з урахуванням комплексного опору.

2. Знайдемо комплексний опір у гілці з резистером R₂.

( 3.13.)

Підставимо дані у формулу ( 3.13.) та отримаємо:

2. Користуючись методом контурних токів складемо систему рівнянь та знаходимо значення струмів у контурах.

де : (3.14.)

( 3.15.)

( 3.16.)

( 3.17.)

( 3.18.)

( 3.19.)

( 3.20.)

Підставимо значення в систему ( 3.14.) :

Систему (3.14.) розв´яжемо по правилу Крамера:

( 3.21.)

( 3.22.)

( 3.23.)

Знайдемо струми:

( 3.24.)

( 3.25.)

( 3.26.)

( 3.27.)

( 3.28.)

3.6.5. Знайдемо вимушену складову :

( 3.29.)

Підставимо значення у формулу ( 3.29.) та отримаємо:

6. Складаємо характеристичне рівняння і визначаємо його корені ( p₁ та p₂ ).

( 3.30.)

Підставимо значення в систему ( 3.30.) :

Корені рівняння комплексні , тобто

6. Знайдемо вільну складову на конденсаторі:

( 3.31.)

де M і N – const.

6. Знайдемо коефіцієнти М та N :

(3.32.)

Підставимо значення у формулу ( 3.32.) та отримаємо:

6. Визначимо значення струму на конденсаторі .

( 3.33.)

( 3.34.)

( 3.34.)

6. Накреслимо графік напругу на конденсаторі, використавші дані з таблиці 3.1

t,c	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
	4.529	-2.658	-2.11	4.544	-1.98	-2.75	4.474	-1.244	-3.356
	4.499	-2.658	-2.11	4.544	-1.98	-2.75	4.474	-1.244	-3.356
	0.03	0	0	0	0	0	0	0	0

Табл. 3.1 розрахункові дані для побудування графіків.

Рис. 3.6 Графік вільної напруги на конденсаторі U_Cвіл(t).

Рис. 3.7 Графік напруг на конденсаторі U_Cвим(t) та U_C(t).

6. Аналіз перехідних процесів в електричному колі операторним методом проводять у такій послідовності:

Рис. 3.8. Схема для розрахунків.

1. Визначимо початкові величини струму через котушку індуктивності та напруги на конденсаторі (із стаціонарного розв’язання для t=0).

Рис. 3.9, Схема кола до комутації.

Використаємо значення і розраховані в пункті 3.5.2.:

Напруга конденсатора матиме вигляд:

, ( 3.35.)

, ( 3.36.)

Сила струму через котушку індуктивності матиме вигляд:

( 3.37.)

Підставивши у формули (3.37.) будемо мати:

Знайдемо початкові значення , підставивши в (3.35.) і (3.37.) t=0, тоді:

3.7.2. Складаємо операторну схему кола після комутації і для неї записуємо операторне рівняння для шуканої величини.

Рис. 3.10. Операторна схема після комутації.

Записуємо операторне рівняння для шуканої величини (для напруги):

, ( 3.40.)

де , початкова напруга на конденсаторі , початкова сила струму через котушку індуктивності.

Знайдемо E(p):

(3.40.)

З формули (3.40.) отримаємо наступний вираз :

( 3.41.)

Підставимо в (3.40.) формули (3.41.), (3.35.) і (3.37.) та отримаємо

систему рівнянь:

( 3.42.)

Знайдемо :

, де (3.43.)

Підставимо у формулу ( 3.43.) та отримаємо зображення :

Знаходимо о ператорне зображення.

Як відомо напруга на конденсаторі розраховується за формулою:

(3.44.)

Підставивши у формулу (3.45.):

Побудуємо графік залежності U_c(t):

Рис.3.11. Графік напруги на конденсаторі.