![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •«Физические основы электронной техники. Квантовая механика»
- •«Физические основы электронной техники. Квантовая механика»
- •Основы квантовой механики
- •Волны де Бройля
- •Измерение в квантовой механике. Соотношение неопределенности
- •Волновая функция
- •Принцип суперпозиции
- •Операторы квантовой механики и среднее значение
- •Уравнение Шредингера
- •Закон сохранения числа микрочастиц
- •Переход к классической механике
- •Свободное движение микрочастицы
- •Рассеяние микрочастицы на потенциальной ступени
- •Туннельный эффект
- •Микрочастица в потенциальной яме
- •Квантово-механический осциллятор
- •Микрочастица в потенциальной яме конечной глубины
- •Микрочастица в связанных потенциальных ямах
Рассеяние микрочастицы на потенциальной ступени
Потенциальное
поле
при
и
при
называют потенциальной ступенькой или
бесконечно протяжным потенциальным
барьером (рис.1.2, а).
Пусть на барьер падает монохроматический
поток микрочастиц. Коэффициент рассеяния
(отражения) барьера определяется как
отношение потока отраженного к потоку
падающему, а коэффициент прозрачности
(прохождения) – отношением прошедшего
потока к потоку падающему.
Поскольку задача стационарная (высота барьера не зависит от времени), определение состояний частицы сводится к решению стационарного уравнения Шредингера, которое для одномерного случая принимает вид
.
(1.68)
Сначала рассмотрим низкий барьер (E >U0). Решения для первой (x<0) и второй (x>0) областей имеют вид
(1.69)
где
и
.
(1.70)
Учитывая
однородность среды в области 2, амплитуду
„встречной” волны следует считать
равной нулю (
).
Если
учесть, что для стационарных состояний
волновая функция гармонически зависит
от времени, то
представляет собой суперпозицию падающей
и отраженной
волн де Бройля
,
(1.71)
а
описывает волну де Бройля частицы,
которая движется над барьером,
.
(1.72)
Физический
интерес представляют коэффициенты
прохождения
и отражения
,
которые определяются отношением
плотности потока частиц, которые прошли
и которые отразились, к плотности потока
частиц, которые падают на барьер.
Для расчетов и воспользуемся понятиям вектора плотности потока вероятности (1.50), который в одномерном случае имеет вид
.
(1.73)
С учетом (1.73) коэффициент прохождения (прозрачности) равен
,
(1.74)
а коэффициент отражения
.
(1.75)
а |
б |
Рис.1.2. Энергетическая диаграмма потенциального выступа (а) и графики распределения плотности вероятности (U0=20 эВ; электрон с энергией E=30 эВ) (б) |
Вычислим величину вектора плотности потока вероятности в области 2, для чего подставим (1.72) в (1.73):
.
(1.76)
Аналогично в области 1 плотность потока вероятности частиц, которые падают на барьер, может быть предоставлена в виде
,
(1.77)
а плотность потока вероятности частиц, которые отражаются барьером,
.
(1.78)
С учетом (1.76) – (1.78) имеем
(1.79)
и
.
(1.80)
Таким
образом, для определения коэффициентов
прохождения и отражения необходимо
определить амплитуды
и
через амплитуду
.
Для этого воспользуемся условием
непрерывности волновой функции на
границе двух сред (
):
,
(1.81)
.
(1.82)
Воспользовавшись (1.69), (1.72), (1.81) и (1.82), получим
,
(1.83)
откуда с учетом (1.70), (1.79) и (1.80)
,
(1.84)
,
(1.85)
где
–
коэффициент преломления барьера
.
(1.86)
Из (1.84) и (1.85) видно, что автоматически выполняется соотношение
,
(1.87)
которое представляет собой закон сохранения числа частиц.
Плотность потока вероятности частиц при x>0 равна
.
(1.88)
Полученные
результаты сильно отличаются от
классических. Согласно законам
классической механики частица, которая
имеет энергию
,
всегда проникнет в область 2.
Согласно
законам квантовой механики при
имеет
место вероятность отражения частицы
от потенциального барьера, и поэтому в
области 1 будет наблюдаться встречный
поток отраженных частиц
.
Для
частиц, которые движутся к барьеру с
,
коэффициенты
и
также могут быть обсчитаны по формулам
(1.84) и (1.85). Но изменение направления
движения приводит к изменению фазы
отраженной волны. В нашем случае для
частиц, которые падают на барьер слева,
отражение происходит в фазе с падающей
волной, а при движении справа – в
противофазе. Изменение
направления движения приводит к изменению
фазы отраженной волны.
Рассмотрим
случай, когда энергия частицы меньше
высоты барьера
.
В этом случае коэффициент
будет
мнимым
,
(1.89)
и коэффициент отражения для высокого барьера будет равняться единице
.
(1.90)
Таким
образом, при
все частицы отражаются от потенциального
барьера и в области 2 поток частиц
отсутствует. Однако имеет место
вероятность обнаружить частицу в области
барьера (
)
.
(1.91)
Частица якобы проходит в потенциальный барьер и возвращается назад. При этом между падающей и отраженной волнами возникает фазовый сдвиг
.
(1.92)
Эффективная
глубина проникновения в барьер, при
которой вероятность обнаружения частицы
отличается от нуля, имеет порядок
величины
.
При
плотность
вероятности (1.91) будет экспоненциально
малой величиной.
Сделаем
оценку глубины проникновения электрона
в потенциальный барьер, если
.
Для
имеем
.
Следовательно, эффект будет заметным только в области микроскопических размеров.
Для
обнаружения частицы в области 2 мы должны
локализовать ее в некотором малом
интервале
.
При этом, локализуя частицу, мы изменяем
ее состояние (энергию). Действительно,
из соотношения неопределенности имеем
.
С неопределенностью импульса связана
неопределенность кинетической энергии
частицы
.
Используя (1.89), получим
.
Таким образом, неопределенность энергии частицы, что локализована в области под барьером, больше той энергии, которой ей не хватает до высоты барьера.