3. Волновая функция

Для полного описания состояния системы (частицы) необходимо столько физических величин, сколько степеней свободы имеет система. Совокупность физических величин, которые полностью определяют состояние системы, называется полным набором. То есть это наибольшее число независимых величин, которые имеют в данном состоянии определенное значение. Например, для микрочастицы составляющие импульса и будут полным набором.

Как говорилось выше, всякое измерение в квантовой механике изменяет состояние системы. После измерения состояние системы зависит от двух факторов: состояния до измерения и характера измерений.

В некоторых случаях измерение настолько существенно изменяет состояние системы, что после опыта оно зависит только от характера измерения. Такое свойство имеет измерение полного набора физических величин.

После измерения полного набора состояние системы уже не зависит от начального состояния. Возникает новое состояние, в котором полный набор имеет определенное значение. Такие квантовые состояния характеризуются волновой функцией или "пси-функцией" ( - функция).

Волновая функция сама собой физического смысла не имеет (в общем случае она является комплексной величиной), но квадрат ее модуля имеет смысл плотности вероятности.

Допустим, что система состоит из одной частицы. Эта система характеризуется волновой функцией . Вероятность нахождения частицы в объеме в окрестности точки будет

. (1.5)

Следовательно, величина является плотностью вероятности. Волновая функция должна подчиняться условиям однозначности, непрерывности (вместе со своими производными), конечности. Кроме того, она должна быть квадратично интегрируемой. Это последнее требование вытекает из условия нормировки волновой функции

. (1.6)

Состояние квантовой системы, в котором физическая величина имеет определенное значение, называется собственным и характеризуется собственной волновой функцией. То определенное значение физической величины, которое она имеет в собственном состоянии, называется собственным значением. Совокупность всех собственных значений образует спектр.

Волновая функция свободной микрочастицы имеет вид

, (1.7)

где А – постоянный множитель, который определяется из условия нормировки.

4. Принцип суперпозиции

В классической механике известен принцип суперпозиции. Примером могут служить колебания струны. Наравне с колебаниями чистого типа возможна суперпозиция колебаний различных типов. В этом заключается принцип суперпозиции.

В квантовой механике также имеет место принцип суперпозиции состояний. Между разными состояниями системы существуют особые соотношения, в результате которых возникают новые состояния. Суть этих соотношений выражается принципом суперпозиции.

Если квантовая система может находишься в состояниях, которые описываются волновыми функциями , то она может находиться и в состоянии, которое описывается суперпозицией волновых функций

, (1.8)

где – произвольные, в общем случае комплексные числа.

Формула (1.8), которая выражает принцип суперпозиции в квантовой механике, на первый взгляд совпадает с классической формулой, однако содержание их существенно различное.

В классической механике некоторая физическая величина, которая получается в результате суперпозиции, является комбинацией величин, которые вступают в суперпозицию. По-другому обстоит дело в квантовой механике. Пусть рассматривается физическая величина, которая в состоянии принимает значение , а в состоянии – . Если мы будем измерять эту физическую величину для системы, которая находится в состоянии, являющимся суперпозицией состояний и , то будем всегда получать одно из двух значений: либо , либо . Вероятность получения значения или зависит от соотношения между коэффициентами и , с которыми состояния и входят в суперпозицию. В этом главное отличие квантового принципа суперпозиции от классического.

Второе существенное отличие заключается в следующем. В классической механике суперпозиция двух одинаковых состояний приводит к новому состоянию, причем физические величины в новом состоянии имеют другие значения, чем в начальных. В квантовой механике суперпозиция двух одинаковых состояний сводится к умножению волновой функции на постоянную величину и, следовательно, приводит к тому же самому состоянию. Физические величины в результате такой суперпозиции не изменяют своих значений. Принцип суперпозиции следует из опыта. Математическим следствием принципа суперпозиции является требование линейности уравнения для волновой функции.