Микрочастица в потенциальной яме
Сделаем
предварительно замечание: непрерывность
производной от волновой функции не
имеет места, если за некоторой поверхностью
потенциальная энергия обращается в
бесконечность. В эту область частица
не может проникнуть, то есть на границе
.
Потенциальное
поле
при
и
при
называется бесконечно глубокой
потенциальной ямой (рис.1.5). Частица,
которая находится в такой яме, будет
все время с ней связана. Движение частицы
в пространстве ограничивается областью
ямы и за ее пределы частица выйти не
может, то есть на границах ямы
.
(1.109)
Отражение от стенок ямы приводит к периодичности движения частицы во времени, что в свою очередь приводит к наложению условий квантования на импульс и энергию частицы. Определим волновые функции (возможные квантовые состояния) и энергетический спектр частицы. Для этого решим уравнение Шредингера (1.48) при соответствующих граничных условиях (1.109):
.
(1.110)
Решение запишем в виде
.
(1.111)
Используя
(1.109) на границе
,
получим
,
и, следовательно,
.
(1.112)
Применяя
граничное условие (1.109) при
,
получим
.
(1.113)
Число
называется
квантовым числом.
Коэффициент определим из условия нормировки (1.6):
.
(1.114)
Таким
образом, решение возможно не для любых
значений
,
а только для вполне определенных,
которые связаны с собственными значениями
энергии соотношением
.
(1.115)
Этим значениям отвечает собственная волновая функция
.
(1.116)
Энергетический
спектр частицы в потенциальной яме
является дискретным. Состояние с
наименьшей энергией (
)
называют основным, все другие –
возбужденными.
Расстояние между соседними энергетическими уровнями в абсолютных единицах растет с увеличением квантового числа
,
(1.117)
но относительное расстояние между уровнями уменьшается
.
(1.118)
Для
ямы макроскопических размеров (например,
см)
дискретность даже для электронов будет
проявляться слабо
эВ.
Уровни
располагаются вблизи друг друга и
образуют квазинепрерывную полосу.
Дискретная природа спектра электрона
проявляется только для ямы атомного
размера. Например, для ямы с
нм
расстояние между соседними уровнями
эВ.
Волновые функции частицы в потенциальной яме представляют собой стоячие волны. Как легко убедиться, все функции взаимно ортогональны. Распределение плотности вероятности положения частицы в яме определяется выражением
.
(1.119)
Соответствующие кривые для некоторых состояний приведены на рис.1.5.
Рассмотрим
трехмерный случай. Потенциальная яма
имеет вид прямоугольного параллелепипеда
со сторонами
.
Потенциальная энергия внутри ящика
равняется нулю, а вне – обращается в
бесконечность (непроницаемые стенки).
Компоненты поступательного движения частицы вдоль координатных осей независимы. Поэтому решение можно искать в виде функции с разделяющимися переменными
,
(1.120)
что отвечает вероятности сложного события. Подставив (1.120) в (1.48) и выполнив соответствующие преобразования, получим
,
(1.121)
где
.
Левая часть (1.121) разделилась на три независимых слагаемых, а правая часть является постоянной. Это возможно в том случае, когда каждое из слагаемых в левой части постоянно. Таким образом, исходное уравнение распадается на три независимых уравнения. Воспользовавшись полученным ранее решением (1.116), запишем для потенциального ящика
.
(1.122)
Возможные значения энергии частицы определяются выражением
,
(1.123)
где
–
целые числа.
Если
ящик кубической формы (
),
то
.
(1.124)
|
|
а |
б |
|
|
в |
г |
Рис.1.5 Бесконечно глубокая потенциальная яма (а), волновые функции (б) и распределение густоты вероятности (в, г) |
|
Из
(1.124) видно, что для возбужденных состояний
(когда хотя бы одно из возможных значений
квантовых чисел
больше единицы) одному и тому же значению
энергии отвечают различные волновые
функции. Например, для
это будут
.
Следовательно, такие состояния являются
вырожденными. Число состояний, которые
имеют одинаковые значения энергии,
определяет кратность вырождения.