Интерполирование функций кубическими сплайнами
При протяженных диапазонах интерполяции с большим количеством узлов общий для всего диапазона полином часто оказывается излишне громоздким и во многих отношениях неудобным. В таких случаях более эффективным оказывается другой подход, а именно:
-
общий диапазон делится на группы попарно смежных интервалов;
-
для каждого интервала создаётся свой интерполяционный полином третьего порядка, называемый кубической параболой;
-
на стыках интервалов первые и вторые производные соседних полиномов попарно равны;
-
значения вторых производных на концах общего диапазона назначаются (часто это нулевые значения).
В совокупности интервальные полиномы образуют гладкую кривую.
Такой подход называют сплайн-интерполяцией (рис.2.2.).
Рассмотрим подробнее методику сплайн-интерполяции.
Построим кубическую параболу, проходящую через первые две точки М1 и М2 (см. рис.2.2). При этом вторая производная (кривизна) в этом промежутке пусть будет линейной функцией от x.
Линейная интерполяция второй производной между первой и второй точками
Интегрируя дважды, найдем интерполяционный полином Q(x). Две постоянные интегрирования находим из условия
y = y1, x = 1; y = y2, x = x2 ;
Q 1–2 = f ( x, x2, x3, y1II, y2II )
Таким образом, мы получили интерполяцию кубической параболой. Построим кубическую параболу, проходящую через точки М2 и М3
Q = f ( x, x2, x3, y1II, y3II )
Дифференцируя (2.18) и (2,19) по x, найдем выражения для первых производных; при x = x2 получим два уравнения для производной в точке М2.
Условие склейки на стыке интервалов yI (x2 – 0) = yI (x2 + 0).
Это условие является достаточным при известных y1II и y3II , чтобы найти y2II . Продолжим эту процедуру для следующих точек М3 , М4 , М5 и найдем y4II .
Для разрешимости системы достаточно задать вторые производные на концах интервала y1II и y4II .
Рассмотрим пример для функции, заданной таблицей
|
x |
0 |
1 |
2 |
|
y |
0 |
1 |
0,5 |
Зададим значение yII в концевых точках x0 и x2
y1II=0; y2II=0.
Вторая производная в средней точке рассчитывается из условия склейки по следующей формуле:
В данном случае y2II = – 9/4.
Интерполяционный полином на участке 1 – 2
+
Аналогично для участка y2 - 3 получим:
.
Композиционная (суперпозиционная) аппроксимация
Эта аппроксимация функции f(x) в две (иногда и более) стадии в форме f(x) = h(g(x)); g(x) является внутренней, а h(g)- внешней функцией суперпозиции (наложения). Такой способ не столь распространен, как рассмотренные, но полезен для символьных аппроксимаций в широком диапазоне аргумента.