3. Вычисление определителей.

Мы уже говорили о том , что решение СУ существует только при условии не равенства нулю определителя матрицы системы . Поэтому решение любой СЛУ следует предварять вычислением ее определителя.

Для вычисления определителя используют известное свойство треугольных матриц: определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Пусть задана квадратная матрица A порядка n :

Представим ее в виде A=LU , где

,

Определение:

Представление матрицы А в виде произведения двух диагональных матриц называется LU-разложением матрицы.

Тогда решение исходной системы уравнений эквивалентно решению двух систем с треугольными матрицами:

Таким образом , метод исключения Гаусса это определение вектора g- преобразованный вектор правых частей и затем определение вектора x.

Теорема:

Для существования LU- разложения матрицы А необходимо и достаточно , чтобы у матрицы А все главные миноры были отличны от нуля.

У произвольной невырожденной матрицы А главные миноры , т.е.

,

вообще говоря , могут обращаться в нуль .

Следовательно , для возможности применения метода Гаусса , или , что тоже самое, получение LU- разложения , надо провести перестановку строк (или столбцов) так, чтобы главные миноры были отличны от нуля.

Известно , что определитель матрицы равен произведению ее определителей, т.е. A=LU, но L=1 , поэтому

Формулы для вычисления элементов матриц Y и Z получаются путем перемножения элементов этих матриц и приравниванием к соответствующим элементам матрицы А.

В пакет Mathcad встроена функция , которая выполняет вычисление определителя , при этом надо помнить о нумерации строк и столбцов по умолчанию , если вы записываете матрицу через формулу для ее элементов.

6.4. Решение слау методом простой итерации.

Пусть задана система уравнений в виде, в которой диагональные элементы a_ii  0 (i =1,2,…n). Выразим x₁ через первое уравнение системы, x₂ - через второе уравнение и т.д. В результате получим эквивалентную систему:

Обозначим , где i = 1,2, …,n ; j = 1,2, … n.

Тогда систему можно записать в матричной форме как X=b’+a’X или

Систему такого вида называют системой, приведенной к нормальному виду. При таком способе приведения все коэффициенты a_ii главной диагонали будут равны нулю.

Зададимся начальным приближением X⁽⁰⁾ , например, таким:

- нулевое приближение.

Вычислим значения X⁽¹⁾ первого приближения :

- первое приближение.

Подставим значения X⁽¹⁾ в правую часть уравнения:

- второе приближение,

и т.д., т.е. любое последующее приближение вычисляют по формуле

X^(k+1)=b’+a’X^(k) (k=0,1, … ,n).

Если последовательность приближений X⁽⁰⁾ , X⁽¹⁾ , …, X^(k) имеет предел , то этот предел и является решением исходной системы. При заданной допустимой погрешности  за критерий окончания итерационного процесса можно принять условие .

Рассмотрим еще раз приведенную систему уравнений.

В сокращенном виде она может быть записана так:

Здесь коэффициенты  и  есть приведенные коэффициенты в системе.

Правая часть определяет отображение F преобразующее точку x=(x₁,x₂,…x_n) n-мерного векторного в точку y=(y₁,y₂,…y_n) того же пространства :

Выбрав начальное приближение можно построить итерационную последовательность точек n- мерного пространства x⁽⁰⁾,x⁽¹⁾…x⁽ⁿ⁾…( аналогично методу простой итерации для скалярного уравнения x=f(x) ).

Также аналогично существованию условий сходимости для скалярного уравнения, есть условия сходимости последовательности приближений ик решению систему уравнений.

Кратко вспомним необходимые сведения из мат. анализа :

Определение 1.

Функция (x,y) – расстояние между x и y будет метрикой , если выполняется:

Определение 2.

Множество с введенной в нем метрикой – метрическое пространство.

Определение 3.

Последовательность точек метрического пространства фундаментальная, если для любого >0 существует N() такое , что для всех n,m>N выполняется (x_n,x_m)< .

Определение 4.

Пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.

Пусть F –отображение ,

Е – метрическое пространство ,

 - метрика,

x,y – точки пространства Е,

Fx , Fy – образы этих точек .

Определение 5.

Отображение F пространства Е в себя называется сжимающим отображением , если существует такое число , 0<<1, что для любых двух точек x,yЕ выполняется неравенство:

Определение 7.

Если Fx=x , то x неподвижная точка отображения F.

Теорема.

Если F сжимающее отображение , определенное в полном метрическом пространстве, то существует единственная неподвижная точка x, такая что Fx=x. При этом итерационная последовательность , построенная для отображения F с любым начальным приближением x⁽⁰⁾ , сходится к x .

Рассмотрим условия , при которых отображение для нашей приведенной системы будет сжимающим. Как следует из определения 6 , решение вопроса зависит от способа метризации данного пространства.

Обычно используют одну из следующих метрик:

Для того , чтобы отображение F , заданное в метрическом пространстве приведенной системой уравнений , было сжимающим, достаточно выполнения одного из условий:

• В пространстве с метрикой ₁ или с метрикой ₂ :

• В пространстве с метрикой ₃ :

Вводя понятие нормы , можно также сформулировать условие сходимости итерационного процесса :

Итерационный процесс для системы X=B’+А’X сходится к единственному решению при любом выборе начального приближения, если какая-нибудь из норм матрицы меньше единицы.

Рассмотрим три нормы:

1. Норма 1: - максимальная сумма модулей элементов матрицы по строкам;

2. Норма 2: - максимальная сумма модулей элементов матрицы по столбцам;

3. Норма 3: - корень квадратный из суммы квадратов модулей всех элементов матрицы.

В MathCAD’е реализованы встроенные функции, вычисляющие нормы 1, 2 и 3 соответственно: normi(A), norm1(A), norme(A), где A - матрица, для которой вычисляется норма.