4.5. Силовой расчет механизмов, содержащих высшие кинематические пары
Конструктивными элементами, образующими высшую кинематическую пару, являются поверхности, принадлежащие сопрягаемым звеньям. В одних случаях эти поверхности в каждом положении механизма касаются в некоторой точке, в других – касание происходит по некоторой линии. При точечном контакте абсолютно твердых звеньев и при отсутствии сил трения реакции в кинематической паре сводятся к силе Rn, направленной по общей нормали к контактирующим поверхностям. Такая пара является пятиподвижной, и в ней возникает одна неизвестная компонента реакции (рис.4.12, а). При линейном контакте силы взаимодействия (при отсутствии трения) распределены вдоль линии контакта и направлены в каждой точке по общей нормали к поверхностям (рис.4.12, б).
В плоском кулачковом механизме (рис.4.13) линией контакта является прямая, силы взаимодействия лежат в одной плоскости и приводятся к главному вектору , направленному по нормали к поверхности кулачка, и главному моменту , вектор которого лежит в плоскости, касательной к профилю. В этом случае высшая кинематическая пара является четырехподвижной.
Аналогичная картина возникает в прямозубых и косозубых эвольвентных цилиндрических передачах. Здесь, правда, в зацеплении могут одновременно находиться несколько пар зубьев, но все силы контактного взаимодействия лежат в одной плоскости, проходящей через линию зацепления и параллельной осям вращения колес. В конических, червячных и гипоидных передачах линия контакта (если она существует) может оказаться пространственной. При этом и силы взаимодействия образуют пространственную систему: появляются дополнительные компоненты реакций, обычно оказывающиеся «лишними» неизвестными при составлении уравнений силового расчета. В таких случаях идут на упрощение модели кинематической пары, оставляя одну неизвестную компоненту реакции Rn и тем самым переходя к условной схеме точечного взаимодействия. Следует отметить, что при силовом расчете тяжело нагруженных зубчатых передач «жесткая» модель контактного взаимодействия без учета сил трения дает лишь весьма приближенные представления о силовых нагрузках. Чаще всего определение этих нагрузок, связанное с прочностными расчетами, опирается на более сложные модели силового взаимодействия, учитывающие упругую деформацию зубьев, влияние смазки и т.п. Однако рассмотрение таких моделей выходит за рамки этого курса.
Рассмотрим некоторые примеры.
а). Расчет плоского кулачкового механизма. Рассмотрим кулачковый механизм, состоящий из кулачка 1 и поступательно движущегося толкателя 2 (рис.4.14).
Механизм содержит две низших кинематических пары (O и B) и одну высшую (A). В плоскости движения во вращательной паре две неизвестных компоненты реакции – R01x и R01y, в поступательной – R02 и , и в высшей кинематической паре – нормальная сила R12n= – R21n. Вместе с обобщенной силой Q имеем шесть неизвестных. Для их отыскания можем составить шесть уравнений кинетостатики, которые при равномерном вращении кулачка имеют следующий вид:
R01x + Ф1cos t + R12nsin = 0,
R01y + Ф1 sin t – R12n cos – G1 = 0,
Q – R12n ecos – R12n sin (h0 + s) –
– G1 sin t = 0,
R02 – R12n sin = 0,
R12n cos – P – Pпр – Ф2 – G2 = 0,
Здесь t – угол между радиусом 0С1 (С1 – центр масс кулачка) и осью x, 1= 0С1, – угол давления, Ф1 и Ф2 – силы инерции кулачка и толкателя, G1 и G2 – силы тяжести, Рпр – сила, создаваемая пружиной, прижимающей толкатель к кулачку.
б) Расчет цилиндрической зубчатой передачи. Проведем силовой анализ эвольвентной прямозубой передачи, ограничиваясь определением реакций, лежащих в плоскости движения (рис.4.15).
Обозначим и – угловые скорости зубчатых колес, причем , где i – передаточное отношение; r1 и r2 – радиусы начальных окружностей; МС – момент сил сопротивления; – угол зацепления передачи, являющийся в то же время и углом давления; и – моменты сил инерции (предполагается, что центры масс лежат на осях вращения); R12 – нормальная реакция в высшей кинематической паре, приложенная ко второму колесу (R21= –R12). Составляя уравнения кинетостатики, имеем:
– для колеса 1:
R01x – R21sin = 0; R01y – R21cos = 0; Q – R21r1cos – = 0,
– для колеса 2:
R02x + R12sin = 0; R02y + R12cos =0; R12r2cos – – MС = 0.
Решая эти уравнения, находим (учитывая, что r2 = r1i; ):
R01x = R12sin, R01y = R12cos, R02x = – R12sin, R02y = – R12cos.