Скачиваний:
10
Добавлен:
19.07.2019
Размер:
673.79 Кб
Скачать

Глава 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА

С ЖЕСТКИМИ ЗВЕНЬЯМИ

6.1. Уравнения Лагранжа второго рода

для механизма с одной степенью подвижности

До сих пор предполагалось, что закон движения механизма является известным: считалось, что он совпадает с программным законом движения, необходимым для выполнения рабочего процесса. В реальной машине закон движения отличается от программного. Это отличие в первую очередь связано со свойствами двигателя, приводящего в движение машину и создающего движущие силы, прикладываемые к входным звеньям. Скорость на выходном звене двигателя зависит от величины обобщенной движущей силы, и это обстоятельство должно учитываться при проектировании машины. В этой связи возникает задача интегрирования системы дифференциальных уравнений движения механической системы совместно с характеристикой двигателя. При этом дифференциальные уравнения движения механизма обычно принимаются в форме уравнений Лагранжа второго рода.

Уравнение Лагранжа второго рода для механической системы (в данном случае – механизма) было получено в курсе теоретической механики:

, (6.1)

где Т(q,) – кинетическая энергия механизма, представленная как функция от обобщенной координаты и обобщенной скорости; Q – обобщенная движущая сила;

(6.2)

обобщенная сила сопротивления, соответствующие всем активным силам, кроме движущих.

В механизме с одной степенью подвижности кинетическая энергия всегда может быть представлена в форме

(6.3)

Если q – линейная обобщенная координата, то инерционный коэффициент называется приведенной массой механизма; при угловой обобщенной координате имеет размерность момента инерции и называется приведенным моментом инерции. В дальнейшем будет предполагаться, что q – угловая координата, и выражение (6.3) записывается в форме

(6.4)

где J(q) – приведенный момент инерции. Подставляя (6.4) в (6.1) и учитывая, что получаем

(6.5)

П ерейдем к примерам составления уравнений движения механизмов. Рассмотрим кривошипно-ползунный механизм, показанный на рис.6.1.

Кинетическую энергию механизма определяем как сумму кинетических энергий его подвижных звеньев. Для вращающегося звена 1 имеем

где J10 – момент инерции звена относительно оси вращения. Для поступательно движущегося ползуна 3 получаем Для звена 2, совершающего сложное движение, находим кинетическую энергию, пользуясь теоремой Кенига, известной из курса теоретической механики: где m2 – масса звена, - его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс С2 и перпендикулярной плоскости движения; vC2 – скорость центра масс; 2 – угловая скорость. Таким образом, учитывая, что

где - угол поворота звена 2, получаем

(6.6)

Выражение, стоящее в фигурных скобках, представляет собой приведенный момент инерции механизма J(q). Используя функции положения xC2(q), yC2(q), (q), xB(q), можно было бы представить J(q) в явной форме; однако это аналитическое выражение даже для такого сравнительно простого рычажного механизма оказывается достаточно громоздким. Еще более сложным является выражение . Поэтому на практике часто используются приближенные представления этих функций, основанные на их разложении в ряды Фурье. Легко видеть, что J(q) – периодическая функция с периодом 2; она представима в виде ряда:

(6.7)

Для определения коэффициентов Фурье J0, JC1, … , JS1, … вычисляются значения J(q) при некоторых дискретных значениях q, например, при q = 2k/m (k = 1, … m). Для этого используется выражение для J(q) в форме (6.6), а значения производных от функций положения определяются в процессе кинематического анализа механизма. Затем используются известные приближенные соотношения, выражающие коэффициенты Фурье через дискретные значения периодической функции:

(6.8)

Далее составляется приближенное представление функций J(q) и

(6.9)

(6.10)

Удовлетворительная аппроксимация для – й гармоники получается только при условии m  4. Следует также иметь в виду, что пренебрежение высшими гармониками в выражении для приведенного момента инерции ограничивает область применимости уравнения (6.5).

Для составления уравнения Лагранжа необходимо также определить обобщенную силу QС как функцию от Предположим, что силами тяжести звеньев механизма можно пренебречь, и единственной активной силой сопротивления является сила (рис.6.1), возникающая при выполнении рабочего процесса и зависящая от и Тогда по формуле (6.2) находим

(6.11)

Обобщенная сила QС часто называется приведенным моментом сил сопротивления. Функция QС(q,) является также периодической по q с периодом 2. Если входное звено связано с кривошипом передаточным механизмом с передаточным отношением i, то период равен 2i.

В качестве второго примера рассмотрим механизм с линейной функцией положения, показанный на рис.6.2. Он состоит из двухступенчатой передачи (колеса 1-4) и ротора 5. Пусть J1, J2, J3, J4, J5 – моменты инерции вращающихся масс относительно осей их вращения; z1, z2, z3, z4 – числа зубьев колес; MС – момент сил сопротивления, приложенных к ротору. Составляя выражение для кинетической энергии системы, имеем

(6.12)

В этом случае приведенный момент инерции не зависит от координаты q. Обобщенная сила QС определяется в соответствии с (6.2):

(6.13)

Подставляя (6.12) и (6.13) в (6.5), получаем уравнение движения

(6.14)

где

(6.15)

– приведенный момент инерции механизма. Отметим, что при приведении вращающихся масс момент инерции каждой из них делится на квадрат передаточного отношения, связывающего эту массу с входным звеном.

Уравнение Лагранжа второго рода может быть использовано, так же как и уравнение Даламбера-Лагранжа, для определения обобщенной движущей силы Q. При заданном законе движения входного звена из уравнения (6.5) находим:

(6.16)

Однако роль уравнений Лагранжа в динамике машин этим не исчерпывается. Как уже отмечалось, они используются так же, как дифференциальные уравнения движения механической системы машины, из которых определяется закон движения q(t). В обоих случаях для составления уравнений Лагранжа необходимо знать зависимости Определение этих функций в аналитической форме требует обычно достаточно громоздких преобразований, связанных с составлением выражения для кинетической энергии и его дифференцированием, а также с определением работы активных сил. В связи с этим для решения первой задачи (определения обобщенной движущей силы по заданному закону движения) чаще всего используются уравнения кинетостатики или уравнения Даламбера-Лагранжа. Более того, легко показать, что эти же уравнения позволяют определить для заданного значения q величины а при заданных q и – величину QС.

Действительно, пусть мы определили с помощью, например, уравнений кинетостатики величину обобщенной движущей силы Q при следующих условиях: т.е. при нулевом значении угловой скорости входного звена, единичном угловом ускорении и при отсутствии активных сил (что эквивалентно QС = 0). Предположим, что при этих условиях (Hм). Подставив выбранные значения в уравнение (6.16), находим, что

т.е. что величина Q1 численно совпадает с величиной J(q), выраженной в Нмс2. Таким образом, для определения J(q) нет необходимости составлять выражение для кинетической энергии механизма, его можно определить с помощью уравнений кинетостатики, если их применить для некоторого «условного» закона движения. Задавая различные значения q и повторяя эту процедуру, найдем значения J(q) в ряде дискретных точек, что позволяет аппроксимировать эту функцию, например, отрезком ряда Фурье (6.9). Найдем теперь (Нм) при q=q, и при отсутствии сил сопротивления. Подставив эти значения в (6.16), получим Наконец, задав найдем при заданных силах сопротивления; тогда из (6.16) получим

6.2. Уравнения Лагранжа второго рода

для механизма с несколькими степенями подвижности

Уравнения Лагранжа второго рода для механизма с w степенями подвижности, с жесткими звеньями и идеальными кинематическими парами могут быть получены из общего уравнения динамики, записанного в форме (4.28). Работа сил инерции на возможном перемещении, входящая в это уравнение, может быть выражена через кинетическую энергию системы. Для механизма с w степенями подвижности справедливо:

= (6.17)

где Т(q1, …, qw,) – кинетическая энергия механизма с w степенями подвижности, представленная как функция от обобщенных координат и их производных. В результате при независимых обобщенных координатах уравнения (4.34) приводятся к виду:

(s = 1, … , w) , (6.18)

где QS – обобщенные движущие силы;

(6.19)

– обобщенные силы сопротивления, соответствующие всем активным силам, кроме движущих.

Кинетическая энергия каждого звена в общем случае определяется как кинетическая энергия твердого тела, совершающего сложное пространственное движение:

, (6.20)

где i – номер звена, mi – его масса, vci – скорость центра масс, JiС – тензор инерции в системе осей, начало которой находится в центре масс i-го звена, – трехмерный вектор-столбец абсолютной угловой скорости. Учитывая, что

, (6.21)

где Jix, Jiy, Jiz – осевые моменты инерции i-го звена, Jixy, Jixz, Jiyz – центробежные моменты инерции, а

, (6.22)

где – проекции вектора угловой скорости i-го звена на оси i-й системы координат, выражение (6.20) можно записать в виде:

(6.23)

В качестве примера рассмотрим схему трехподвижного механизма (рис.6.3). Звено 1 вращается вокруг своей продольной оси с угловой скоростью . По звену 1 со скоростью движется звено 2. Звено 3, связанное со звеном 2 шарниром В, вращается относительно звена 2 с угловой скоростью . На звене 3 имеется схват, в точке М которого приложена активная сила . Центры масс второго и третьего звеньев находятся в точках С2 и С3 соответственно.

Кинетическую энергию механизма определим как сумму кинетических энергий его подвижных звеньев. Для вращающегося звена 1 имеем где – момент инерции звена 1 относительно оси z1, совпадающей с осью его вращения.

Звено 2 вращается вместе со звеном 1 и перемещается по нему, его кинетическая энергия равна:

,

где vC2 – скорость центра масс второго звена, m2 – его масса, J2 – тензор инерции, построенный в осях С2x2y2z2 (рис.6.4, а), – вектор-столбец угловой скорости.

Найдем vC2 и :

,

.

Подставим найденные значения в выражение для кинетической энергии Т2:

,

где . Кинетическая энергия третьего звена Т3:

.

Найдем скорость центра масс третьего звена vC3.

,

,

Положим, что звено 3 представляет собой тонкий однородный стержень, а . Тогда компоненты тензора инерции J3, построенного в осях С3x3y3z3 (рис. 6.4, б): J3x = 0; J3y = J3z = ; J3xy = J3xz = J3yz = 0. Угловая скорость :

.

Отсюда получим:

.

Полная кинетическая энергия механизма составит:

Найдем обобщенные силы сопротивления. Из выражения (6.19) следует:

.

Здесь учтено, что центр масс звена 1 не изменяет своего положения. Из кинематического анализа несложно получить выражения для и : , , , , , .

Функция положения точки М:

.

Отсюда

, , ,

; ; ,

, , .

Теперь несложно найти обобщенные силы сопротивления:

,

,

.

Подставляя найденные значения в уравнения Лагранжа, получим три уравнения движения:

Из приведенных уравнений видно взаимовлияние приводов. Например, двигатель 2 «чувствует», как работает двигатель, приводящий в движение звено 3 (движущий момент Q2 зависит от и от ).

172

Соседние файлы в папке ТММ