Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

R1.DOC

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2019

Размер:

978.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

1.3 Линейные уравнения 1-го порядка.

Уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной.

Оно имеет вид

(1.21)

ãäå è - непрерывные функции от в той области, в которой требуется проинтег-рировать уравнение (1.21).

Åñëè то уравнение (1.21) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

(1.22)

Общее решение неоднородного уравнения можно найти, например, методом вариации произвольной постоянной, т.е. решение (1.21) ищется в виде

(1.23)

ãäå - новая неизвестная функция от . Уравнение (1.21) может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем

(1.24)

Подставляя (1.24) в (1.21), после преобразо-вания получим

(1.25)

Определяя из условия находим затем из (1.25) функцию , а следовательно, и решение уравнения (1.21) . В качестве можно взять любое частное решение уравнения .

Уравнение Бернулли имеет вид

(1.26)

ãäå ; 1, òàê êàê ïðè è это уравнение является линейным. Уравнение (1.26) заменой переменных сводится к линейному уравнению. Однако практически более удобным является решение уравнения Бернулли с помощью подстановки (не сводя его к линейному).

Пример Решить уравнение Бернулли :

Решение. Положим . Тогда будем иметь

Функцию найдем как частное решение уравнения . Имеем

Тогда

Откуда, разделяя переменные и интегрируя, получим

ò.å.

Так что общее решение уравнения имеет вид

Задание 1.3 Проинтегрировать уравнение.

Ответ:

1.4 Уравнения в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель

Дифференциальное уравнение вида

(1.27)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции .

(1.28)

Необходимым и достаточным условием того, что уравнение (1.27) есть уравнение в полных дифференциалах является условие

(1.29)

в некоторой области изменения и .

Общий интеграл уравнения (1.27) имеет вид

(1.30)

или

(1.31)

или

(1.32)

где нижние пределы и выбираются произвольно, но так, чтобы точка принадлежала области .

В этих формулах интегрирование производится по одной из переменных, в то время как вторая является параметром, причем в одном из интегралов параметр фиксируется (полагается равным нижнему пределу другого интеграла). Особых решений уравнение в полных дифференциалах не имеет.

Укажем другой способ нахождения общего интеграла уравнения в полных дифференциалах, который часто оказывается на практике более удобным.

Функция в общем интеграле (1.30) должна удовлетворять системе уравнений :

(1.33)

Интегрируя (частным образом) по первое из уравнений (1.33), имеем

(1.34)

где - любая функция от .

Выберем так, чтобы функция (1.34) была решением и второго из уравнений (1.33). Дифференцируя уравнение (1.34) по и полагая , получаем, для нахождения легко интегрируемое дифференциальное уравнение , правая часть которого зависит только от . Интегрируя это уравнение, видим, что в качестве можно взять . Поэтому общий интеграл (1.30) можно записать так:

(1.35)

Аналогично, исходя из уравнения , приходим к общему интегралу вида

(1.36)

В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (1.27) не является полным дифференциалом, удается подобрать функцию , после умножения на которую левая часть (1.27) превращается в полный дифференциал

(1.37)

Такая функция называется интегрирующим множителем. Из определения интегрирующего множителя имеем

(1.38)

или

(1.39)

откуда

(1.40)

Мы получили для нахождения интегрирующего множителя уравнение в частных производных. Отметим некоторые частные случаи, когда удается сравнительно легко найти решение уравнения (1.40), т.е. найти интегрирующий множитель.

1. . Тогда и уравнение (1.40) примет вид

(1.41)

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от , необходимо и достаточно, чтобы правая часть (1.41) была функцией только . В таком случае найдется квадратурой.

2. Аналогично, если есть функция только , то уравнение (1.27) имеет интегрирующий множитель , зависящий только от .

3. Если заранее известно, что , где - заданная функция от и , то уравнение (1.39) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией от независимой переменной :

(1.42)

где

(1.43)

т.е. дробь слева является функцией только от .

Решая уравнение (1.42), находим интегрирующий множитель

(1.44)

4. Интегрирующий множитель уравнения (1.27) иногда можно отыскать с помощью разбиения этого уравнения на группы, для каждой из которых легко находится интегрирующий множитель. Пусть уравнение (1.27) допускает разбиение на две такие группы.

(1.45)