Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

R1.DOC

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2019

Размер:

978.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

1.2 Однородные уравнения и приводящиеся к ним

Уравнение

(1.10)

в котором и - однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством

(1.11)

при всех или хотя бы при (положительно однородные), называется однородным (положи-тельно однородным).

Уравнение (1.10) всегда может быть приведено к виду

(1.12)

Однородное (и положительно однородное) уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции по формуле

(1.13)

где - новая искомая функция.

Выполнив подстановку (1.13) в уравнении (1.12) приходим к уравнению с разделяющимися переменными:

(1.14)

Особыми решениями однородного уравнения (1.12) могут быть полуоси и полупрямые , где - корни уравнения .

Замечание При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1.12). Можно сразу делать подстановку .

Рассмотрим уравнение вида

(1.15)

Если

(1.16)

то это уравнение с помощью подстановки , где и - новые переменные, а и - некоторые постоянные числа, определяемые из системы

(1.17)

приводится к однородному уравнению

(1.18)

Если

(1.19)

то уравнение (1.15) принимает вид

(1.20)

Полагая , приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.

Иногда уравнение можно привести к однородному заменой переменного . Это имеет место в том случае, когда в уравнении все члены оказываются одинакового измерения, если переменному приписать измерение 1, переменному - измерение и производной - измерение .

Пример Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Так как уравнение однородное, то положим или . Тогда . Подставляя в уравнение выражения для и , получим

Разделяем переменные:

Отсюда интегрированием находим

или

Так как , то обозначая , получим

где или . Заменяя на , будем иметь общий интеграл:

Отсюда общее решение будет:

При разделении переменных мы делили обе части уравнения на произведение , поэтому могли потерять решения, которые обращают в нуль его сомножители. Положим теперь и . Но не является решением уравнения, а из второго получаем, что , откуда . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции и являются решениями уравнения. Функции и являются особыми решениями данного уравнения.