Коллоквиум / A / Вариант 01
.docТест по векторной алгебре и аналитической геометрии
для студентов I курса ММФ преподаватель – доц. Лагунова М. В.
ВАРИАНТ №0
0. Дайте определение векторного произведения.
Даны точки , найдите
-
,
-
аппликату вектора ;
-
проекцию вектора на ось абсцисс;
-
косинус угла между направлениями вектора и оси ординат.
Даны векторы найдите
-
Точка делит отрезок с концами и в отношении , считая от А. Найдите координаты точки В.
-
Даны векторы Справедливы утверждение:
-
векторы не образуют базис пространства;
-
векторы образуют ортогональный базис пространства;
-
векторы образуют нормированный базис пространства;
-
векторы образуют базис пространства, который не является ни ортогональным, ни нормированным;
-
нет правильного утверждения.
-
Известно, что , тогда обязательно: А) компланарны; B) попарно ортогональны; С) ; D) ;
E) нет правильного ответа.
-
На рисунке изображена окружность, уравнением которой в полярной системе координат является:
-
В)С)D)E) нет правильного ответа.
-
Две прямые и разбивают плоскость на 4 угла. Даны две точки: и , тогда:
-
точки А и В лежат в одном из 4-х углов;
-
точки А и В лежат в смежных углах;
-
точки А и В лежат в вертикальных углах;
-
одна или две из этих точек лежат на какой-нибудь из данных прямых;
-
нет правильного ответа.
-
Прямая, заданная параметрическими уравнениями проходит через точку А); В) С) D); Е) нет правильного ответа.
-
Директриса параболы имеет уравнение:. Найдите параметр параболы и ее эксцентриситет.
-
Плоскость, задаваемая уравнением , А); В) ; С) ; D) ; Е) нет правильного ответа.
-
Тетраэдр, ограниченный координатными плоскостями и плоскостью имеет объем А) 10; В)10/3; С) 5; D) 5/3; Е) нет правильного ответа.
-
Прямые и
-
совпадают;
-
параллельны и не совпадают;
-
пересекаются;
-
скрещиваются;
E) нет правильного ответа.
-
Прямая задана общими уравнениями: . Найдите ее направляющий вектор.
-
Сечения поверхности второго порядка, заданной уравнением , плоскостями, параллельными плоскости Оху, являются;
-
окружностями;
-
эллипсами;
-
гиперболами;
-
параболами;
-
нет правильного ответа.
-
Выведите канонические уравнения прямой в пространстве.
Примечание:
За правильный ответ на вопрос №0 очки не присуждаются. В случае, когда нет правильного ответа на этот вопрос, работа далее не проверяется. В течение недели после оглашения результатов тестирования Вы имеете право выучить определение векторного произведения и сдать его. После этого Ваша работа будет проверена и оценена.
Вопросы по геометрии.
-
Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.
-
Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
-
Теорема о единственности разложения по базису.
-
Теорема о вычислении проекции.
-
Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов.
-
Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
-
Выражение векторного произведения через координаты векторов.
-
Теорема о смешанном произведении. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов.
-
Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
-
Различные виды уравнений прямой на плоскости (10).
-
Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
-
Угол между прямыми.
-
Расстояние от точки до прямой.
-
Различные виды уравнений плоскости в пространстве (5).
-
Угол между плоскостями.
-
Расстояние от точки до плоскости.
-
Различные виды уравнений прямой в пространстве (4).
-
Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
-
Угол между прямыми в пространстве.
-
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
-
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
-
Угол между прямой и плоскостью в пространстве.
-
Преобразование декартовых координат при переносе начала координат.
-
Преобразование декартовых координат при повороте координатных осей. Матрица поворота.
-
Вывод канонического уравнения параболы.
-
Построение поверхностей второго порядка (эллипсоида, однополостного м двуполостного гиперболоидов, конуса вторго порядка, эллиптического и гиперболического параболоидов) методом сечений.
Вопросы по геометрии.
-
Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.
-
Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
-
Теорема о единственности разложения по базису.
-
Теорема о вычислении проекции.
-
Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов.
-
Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
-
Выражение векторного произведения через координаты векторов.
-
Теорема о смешанном произведении. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов.
-
Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
-
Различные виды уравнений прямой на плоскости (10).
-
Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
-
Угол между прямыми.
-
Расстояние от точки до прямой.
-
Различные виды уравнений плоскости в пространстве (5).
-
Угол между плоскостями.
-
Расстояние от точки до плоскости.
-
Различные виды уравнений прямой в пространстве (4).
-
Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
-
Угол между прямыми в пространстве.
-
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
-
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
-
Угол между прямой и плоскостью в пространстве.
-
Преобразование декартовых координат при переносе начала координат.
-
Преобразование декартовых координат при повороте координатных осей. Матрица поворота.
-
Вывод канонического уравнения параболы.
-
Построение поверхностей второго порядка (эллипсоида, однополостного м двуполостного гиперболоидов, конуса вторго порядка, эллиптического и гиперболического параболоидов) методом сечений.