Коллоквиум / A / Вариант 0 (геометрия)
.pdf
Тест по векторной алгебре и аналитической геометрии
для студентов I курса ММФ преподаватель – доц. Лагунова М. В. ВАРИАНТ №0
0.Дайте определение векторного произведения.
Даны точки A( 1, 2,5), B(2,3, 1), a AB , найдите
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
a |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
аппликату вектора a ; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
проекцию вектора a на ось абсцисс; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
косинус угла между направлениями вектора a и оси ординат. |
|||||||
|
|
|
|
|
( 2, 1,2), |
|
|
|
Даны векторы a |
(1, 2,0), b |
с |
a |
3b, найдите |
||||
5.cz ;
6.с b;
7.b a;
8. |
Точка M (1,2,5) |
делит отрезок с концами A(1, 2,4) |
и B в отношении 1: 3 , считая от А. Найдите координаты точки В. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Даны векторы a |
(1,1,1), b |
( 1, 1,0), c (0,0,1). Справедливы утверждение: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A) |
векторы a, b, c не образуют базис пространства; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B) |
векторы a, b, c образуют ортогональный базис пространства; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C) |
векторы a, b, c образуют нормированный базис пространства; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D) |
векторы a, b, c образуют базис пространства, который не является ни ортогональным, ни нормированным; |
|
|
|
|
|
|||||
|
E) |
нет правильного утверждения. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
Известно, что (a |
b) с 0 , тогда обязательно: А) |
a, b, c компланарны; B) |
a, b, c попарно ортогональны; С) |
с |
0 ; D) |
(a |
b) с ; |
||||
E) нет правильного ответа.
11.На рисунке изображена окружность, уравнением которой в полярной системе координат является:
A)r 5cos ; В) r 10 cos ; С) r 5sin ; D) r 5sin ; E) нет правильного ответа.
у |
12. Две прямые l1 : 2x 3y 1 0 |
и l2 : x y 4 0 разбивают плоскость на 4 угла. Даны две точки: |
A(1; 1) и B( 1; 2) , тогда:
A)точки А и В лежат в одном из 4-х углов;
хB) точки А и В лежат в смежных углах;
C)точки А и В лежат в вертикальных углах;
D)одна или две из этих точек лежат на какой-нибудь из данных прямых;
E)нет правильного ответа.
x 2t 1,
– 5 13. Прямая, заданная параметрическими уравнениями проходит через точку А) A( 1,0) ; В)
y 4t 6,
|
B(2, 4); С) C(3,1); |
D) D( 5, 6) ; Е) нет правильного ответа. |
||||||||||
14. |
Директриса параболы имеет уравнение: x 3 . Найдите параметр параболы и ее эксцентриситет. |
|||||||||||
15. |
Плоскость, задаваемая уравнением у 3z 4 0 , А) |
|
|
|
Ox ; В) |
|
Oz ; С) |
|
Ox z ; |
D) |
|
Oy ; Е) нет правильного ответа. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.Тетраэдр, ограниченный координатными плоскостями и плоскостью 10x 2y 5z 10 0 имеет объем А) 10; В)10/3; С) 5; D) 5/3; Е) нет правильного ответа.
17. Прямые l1 |
: |
x 3 |
|
y 1 |
|
z 2 |
и l2 |
: |
x 1 |
|
y 1 |
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
1 |
0 |
|
2 |
0 |
1 |
|
||||||
A)совпадают;
B)параллельны и не совпадают;
C)пересекаются;
D)скрещиваются;
E) нет правильного ответа.
2x 3y 3z 5 0, |
. Найдите ее направляющий вектор. |
|
18. Прямая задана общими уравнениями: |
0. |
|
3x y z 1 |
|
|
|
|
|
19.Сечения поверхности второго порядка, заданной уравнением 2x2 y2 z2 5 , плоскостями, параллельными плоскости Оху, являются;
A)окружностями;
B)эллипсами;
C)гиперболами;
D)параболами;
E)нет правильного ответа.
20.Выведите канонические уравнения прямой в пространстве.
Примечание:
За правильный ответ на вопрос №0 очки не присуждаются. В случае, когда нет правильного ответа на этот вопрос, работа далее не проверяется. В течение недели после оглашения результатов тестирования Вы имеете право выучить определение векторного произведения и сдать его. После этого Ваша работа будет проверена и оценена.
Вопросы по геометрии.
1.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.
2.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
3.Теорема о единственности разложения по базису.
4.Теорема о вычислении проекции.
5.Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов.
6.Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
7.Выражение векторного произведения через координаты векторов.
8.Теорема о смешанном произведении. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов.
9.Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
10.Различные виды уравнений прямой на плоскости (10).
11.Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
12.Угол между прямыми.
13.Расстояние от точки до прямой.
14.Различные виды уравнений плоскости в пространстве (5).
15.Угол между плоскостями.
16.Расстояние от точки до плоскости.
17.Различные виды уравнений прямой в пространстве (4).
18.Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
19.Угол между прямыми в пространстве.
20.Расстояние от точки до прямой в пространстве.
21.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
22.Угол между прямой и плоскостью в пространстве.
23.Преобразование декартовых координат при переносе начала координат.
24.Преобразование декартовых координат при повороте координатных осей. Матрица поворота.
25.Вывод канонического уравнения параболы.
26.Построение поверхностей второго порядка (эллипсоида, однополостного м двуполостного гиперболоидов, конуса вторго порядка, эллиптического и гиперболического параболоидов) методом сечений.
Вопросы по геометрии.
1.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.
2.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
3.Теорема о единственности разложения по базису.
4.Теорема о вычислении проекции.
5.Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов.
6.Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
7.Выражение векторного произведения через координаты векторов.
8.Теорема о смешанном произведении. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов.
9.Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
10.Различные виды уравнений прямой на плоскости (10).
11.Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
12.Угол между прямыми.
13.Расстояние от точки до прямой.
14.Различные виды уравнений плоскости в пространстве (5).
15.Угол между плоскостями.
16.Расстояние от точки до плоскости.
17.Различные виды уравнений прямой в пространстве (4).
18.Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
19.Угол между прямыми в пространстве.
20.Расстояние от точки до прямой в пространстве.
21.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
22.Угол между прямой и плоскостью в пространстве.
23.Преобразование декартовых координат при переносе начала координат.
24.Преобразование декартовых координат при повороте координатных осей. Матрица поворота.
25.Вывод канонического уравнения параболы.
26.Построение поверхностей второго порядка (эллипсоида, однополостного м двуполостного гиперболоидов, конуса вторго порядка, эллиптического и гиперболического параболоидов) методом сечений.