Производная, ее геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования.

Производной функции у = f{x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

Правила дифференцирования.

Если у функций  f(x) и  g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Определение Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Дифференцируемость в точке. Связь существования производной.

Теорема Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную. Доказательство 

Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A.

Если для данного значения x приращение функции Δy = f(x+Δx) – f(x) можно представить в виде Δy = A·Δx + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию  , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f '(x)=А.

Действительно, имеем  , и так как   при Δx→0, то 

Дифференцируемость в точке связь с непрерывностью.

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х₀. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем  .

.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х₀.

Следствие. Если х₀ – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Пример. у=|х| , х₀=0.

Dх>0,              ; Dх<0,              .

В точке х₀=0 функция непрерывна, но производной не существует.

Дифференцируемость в точке его геометрический смысл

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х₀. Проведем касательную к графику этой функции в точке M₀(x₀, f(x₀)) (рис. 1).

Угловой коэффициент касательной равен tg α = f '(x₀), где α — угол между касательной и осью OX. При изменении абсциссы х₀ на Δx приращение ординаты соответствующей точки касательной равно

 

Δx · tg α   =   f '(x0) · Δx   ≡  df(x0).

 

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х₀ равен приращению, которое получает линейная функция, графиком которой является касательная, при переходе из точки x₀ в точку x₀ + Δx.

Дифференцируемость в точке инвариантность формы дифференциала

Дифференцирование показательно степенной функции.

Показательно-степенной функцией называется функция вида y = u^v, где u=u(x), v=v(x).

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.

Дифференцирование функции заданной неявно.

Пусть значения переменных х и у связаны уравнением F(x, y) = 0.                                                                                                        (1) Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция. Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде y = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным. Для нахождения производной у'х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразить у'х.

Производные высших порядков, и их свойства.

Производные высших порядков

Пусть дифференцируемая на промежутке

, если она дифференцируема на промежутке , то существует ее производная на промежутке .

Свойства

, – константа

(формула Лейбница).

Повторное дифференцирование функции, заданной параметрически.

Пусть

Дифференциалы высших порядков, их свойства.

Дифференциалы высших порядков

определена на промежутке

Дифференциалы высших порядков не обладают инвариантностью

Пусть

, где – независимая переменная

, по

сложная функция

Дифференциал не совпадает.

Свойства

(Формула Лейбница)

Доказательство

Теорема Ферма

Пусть дифференцируема на промежутке и в некоторой точке принимает наибольшее значение

Доказательство

Пусть принимает в точке наибольшее значение

Пусть

<0

Пусть

Теорема Ролля.

Пусть – непрерывна на и дифференцируема на и пусть по меньшей мере одна точка , в которой

Доказательство

По условию непрерывна на , тогда достигает на своей точной верхней и нижней граней, т. е. точки являются наименьшим, наибольшим значениями соответственно.

в любой точке

Пусть тогда одно из них достигается во внутренней точке

Пусть, например, достигается во внутренней точке , по теореме Ферма .