Вариационный ряд выборки:
Общие характеристики набора реализаций:
число реализаций n=30
минимальное значение xmin=-4.2928
максимальное значение xmax=4.6639
Найти закон распределения исследуемой случайной величины, если известно, что он может быть:
-нормальным (гауссовским);
-равномерным на некотором интервале;
-экспоненциальным.
Оценка математического ожидания: 0.342
Оценка дисперсии: 3.407
Оценка среднего квадратического отклонения: 1.846
Количество
интервалов: m=1+3.322 lg
30≈1+4.441 ln 30≈1+
=5.90689
Таблица данных для построения гистограммы (интервал [xmin, xmax] разбит на 8 подынтервалов)
Для проверки предлагаются следующие гипотезы; о законе распределения случайной величины:
Гипотеза 1 - нормальное распределение;
Гипотеза 2 - равномерное распределение;
Гипотеза 3 - экспоненциальное распределение;
Проверим первую гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона
Таблица вероятностей попадания в подынтервалы
Вероятность попадания левее хmin равна 0.006
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0096
Значение статистики критерия Пирсона g=9.219
Число степеней свободы равно 7
r |
P |
|||||||||||||
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,50 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
7 |
1,239 |
1,564 |
2,17 |
2,83 |
3,82 |
4,67 |
6,35 |
8,38 |
9,80 |
12,02 |
14,07 |
16,62 |
18,48 |
24,30 |
Из таблицы распределения хи-квадрат Пирсона можно увидеть, что данную гипотезу можно принять на уровне значимости 0.05, т.к. 9.129 <14.07
Проверим вторую гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона
Таблица вероятностей попадания в подынтервалы.
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0000
Значение статистики критерия Пирсона g=25.467
Число степеней свободы равно 7
r |
P |
|||||||||||||
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,50 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
7 |
1,239 |
1,564 |
2,17 |
2,83 |
3,82 |
4,67 |
6,35 |
8,38 |
9,80 |
12,02 |
14,07 |
16,62 |
18,48 |
24,30 |
Из таблицы распределения хи-квадрат Пирсона можно увидеть, что данную гипотезу нельзя взять ни на каком уровне значимости т.к. 25.467>4.07
Проверим третью гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона
Таблица вероятностей попадания в подынтервалы
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000
Вероятность попадания правее xmax равна 0.0354
Значение статистики критерия Пирсона g=112.514
Число степеней свободы равно 7
r |
P |
|||||||||||||
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,50 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
7 |
1,239 |
1,564 |
2,17 |
2,83 |
3,82 |
4,67 |
6,35 |
8,38 |
9,80 |
12,02 |
14,07 |
16,62 |
18,48 |
24,30 |
Из таблицы распределения хи-квадрат Пирсона можно увидеть, что данную гипотезу нельзя принять ни на каком уровне, т.к. 112.514 >14.07
Данное распределение является нормальным, в чем мы убедились, проверив все три гипотезы.
n=100 Смоделирована выборка, состоящая из элементов:
Вариационный ряд выборки:
Общие характеристики набора реализаций:
число реализаций n=100
минимальное значение xmin=-4.6072
максимальное значение хmах =4.7912
Найти закон распределения исследуемой случайной величины, если известно, что он может быть:
-нормальным (гауссовским);
-равномерным на некотором интервале;
-экспоненциальным.
Оценка математического ожидания: 0.565
Оценка дисперсии: 2.716
Оценка среднего квадратического отклонения: 1.648
Количество
интервалов: m=1+3.322 lg
100≈1+4.441 ln 100≈1+
=
7.64385≈8
Таблица данных для построения гистограммы (интервал [xmin,xmaxl разбит на 8 подынтервалов)
Для проверки предлагаются следующие гипотезы; о законе распределения случайной величины:
Гипотеза 1 - нормальное распределение;
Гипотеза 2 - равномерное распределение;
Гипотеза 3 - экспоненциальное распределение;
Проверим первую гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона
Таблица вероятностей попадания в подынтервалы
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0008
Вероятность попадания правее хmах равна 0.0052
Значение статистики критерия Пирсона g=6.719
Число степеней свободы равно 7
r |
P |
|||||||||||||
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,50 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
7 |
1,239 |
1,564 |
2,17 |
2,83 |
3,82 |
4,67 |
6,35 |
8,38 |
9,80 |
12,02 |
14,07 |
16,62 |
18,48 |
24,30 |
Из таблицы распределения хи-квадрат Пирсона можно увидеть, что данную гипотезу можно принять на уровне значимости 0,05, т.к. 6.719<14,07
Проверим вторую гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона
Таблица вероятностей попадания в подынтервалы
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000
Вероятность попадания правее хmах равна 0.0000
Значение статистики критерия Пирсона g=57.6
Число степеней свободы равно 7
r |
P |
|||||||||||||
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,50 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
7 |
1,239 |
1,564 |
2,17 |
2,83 |
3,82 |
4,67 |
6,35 |
8,38 |
9,80 |
12,02 |
14,07 |
16,62 |
18,48 |
24,30 |
Из таблицы распределения хи-квадрат Пирсона можно увидеть, что данную гипотезу нельзя принять ни на каком уровне, т.к. 57.6 >24.30.
Проверим третью гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона
Таблица вероятностей попадания в подынтервалы
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000
Вероятность попадания правее хmах равна 0.0283
Значение статистики критерия Пирсона g=757.219
Число степеней свободы равно 7
r |
P |
|||||||||||||
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,50 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
7 |
1,239 |
1,564 |
2,17 |
2,83 |
3,82 |
4,67 |
6,35 |
8,38 |
9,80 |
12,02 |
14,07 |
16,62 |
18,48 |
24,30 |
Из таблицы распределения хи-квадрат Пирсона можно увидеть, что данную гипотезу нельзя принять ни на каком уровне, т.к. 757.219 >24.30.
Проанализировав результаты значений статистики критерия Пирсона, можно принять гипотезу о том, что данное распределение является нормальным.
n=200 Смоделирована выборка, состоящая из элементов:
Вариационный ряд выборки:
Общие характеристики набора реализаций:
число реализаций n=200
минимальное значение xmin=-3.5509
максимальное значение хmах=4.4537
Найти закон распределения исследуемой случайной величины, если известно, что он может быть:
-нормальным (гауссовским);
- равномерным на некотором интервале;
-экспоненциальным.
Оценка математического ожидания: 0.432
Оценка дисперсии: 2.669
Оценка среднего квадратического отклонения: 1.634
Количество
интервалов: m=1+3.322 lg
200≈1+4.441 ln 200≈1+
≈9
Таблица данных для построения гистограммы (интервал [xmin,xmaxl разбит на 8 подынтервалов)
Для проверки предлагаются следующие гипотезы; о законе распределения случайной величины:
Гипотеза 1 - нормальное распределение;
Гипотеза 2 - равномерное распределение;
Гипотеза 3 - экспоненциальное распределение;
Проверим первую гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона
Таблица вероятностей попадания в подынтервалы
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0074
Вероятность попадания правее хmах равна 0.0069
Значение статистики критерия Пирсона g=8.923
Число степеней свободы равно 7
r |
P |
|||||||||||||
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,50 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
7 |
1,239 |
1,564 |
2,17 |
2,83 |
3,82 |
4,67 |
6,35 |
8,38 |
9,80 |
12,02 |
14,07 |
16,62 |
18,48 |
24,30 |
Из таблицы распределения хи-квадрат Пирсона можно увидеть, что данную гипотезу можно принять на уровне значимости 0,05, т.к. 8.923<14,07
Проверим вторую гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона
Таблица вероятностей попадания в подынтервалы
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000
Вероятность попадания правее хmах равна 0.0000
Значение статистики критерия Пирсона g=75.4
Число степеней свободы равно 7
r |
P |
|||||||||||||
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,50 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
7 |
1,239 |
1,564 |
2,17 |
2,83 |
3,82 |
4,67 |
6,35 |
8,38 |
9,80 |
12,02 |
14,07 |
16,62 |
18,48 |
24,30 |
Из таблицы распределения хи-квадрат Пирсона можно увидеть, что данную гипотезу нельзя принять ни на каком уровне значимости, т.к. 75.4>24.30.
Проверим третью гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона
Таблица вероятностей попадания в подынтервалы
Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000
Вероятность попадания правее хmах равна 0.0314
Значение статистики критерия Пирсона g=643.302
Число степеней свободы равно 7
r |
P |
|||||||||||||
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,50 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
7 |
1,239 |
1,564 |
2,17 |
2,83 |
3,82 |
4,67 |
6,35 |
8,38 |
9,80 |
12,02 |
14,07 |
16,62 |
18,48 |
24,30 |
Из таблицы распределения хи-квадрат Пирсона можно увидеть, что данную гипотезу нельзя принять ни на каком уровне значимости, т.к. 643.302>24.30.
Проанализировав результаты значений статистики критерия Пирсона, можно принять гипотезу о том, что данное распределение является нормальным.
Таблица распределения хи-квадрат Пирсона.
r |
P |
|||||||||||||
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,50 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
1 |
0,000 |
0,001 |
0,004 |
0,016 |
0,064 |
0,148 |
0,455 |
1,074 |
1,642 |
2,710 |
3,840 |
5,410 |
6,640 |
10,830 |
2 |
0,020 |
0,040 |
0,103 |
0,211 |
0,446 |
0,713 |
1,386 |
2,410 |
3,220 |
4,600 |
5,990 |
7,820 |
9,210 |
13,820 |
3 |
0,115 |
0,185 |
0,352 |
0,584 |
1,005 |
1,424 |
2,370 |
3,660 |
4,640 |
6,250 |
7,820 |
9,840 |
11,340 |
16,270 |
4 |
0,297 |
0,429 |
0,711 |
1,064 |
1,649 |
2,200 |
3,360 |
4,880 |
5,990 |
7,780 |
9,490 |
11,670 |
13,280 |
18,460 |
5 |
0,554 |
0,752 |
1,145 |
1,610 |
2,340 |
3,000 |
4,350 |
6,060 |
7,290 |
9,240 |
11,070 |
13,390 |
15,090 |
20,500 |
6 |
0,872 |
1,134 |
1,635 |
2,200 |
3,070 |
3,830 |
5,350 |
7,230 |
8,560 |
10,640 |
12,590 |
15,030 |
16,810 |
22,500 |
7 |
1,239 |
1,564 |
2,170 |
2,830 |
3,820 |
4,670 |
6,350 |
8,380 |
9,800 |
12,020 |
14,070 |
16,620 |
18,480 |
24,300 |
8 |
1,646 |
2,030 |
2,730 |
3,490 |
4,590 |
5,530 |
7,340 |
9,520 |
11,030 |
13,360 |
15,510 |
18,170 |
20,100 |
26,100 |
9 |
2,090 |
2,530 |
3,320 |
4,170 |
5,380 |
6,390 |
8,340 |
10,660 |
12,240 |
14,680 |
16,920 |
19,680 |
21,700 |
27,900 |
10 |
2,560 |
3,060 |
3,940 |
4,860 |
6,180 |
7,270 |
9,340 |
11,780 |
13,440 |
15,990 |
18,310 |
21,200 |
23,200 |
29,600 |
11 |
3,050 |
3,610 |
4,580 |
5,580 |
6,990 |
8,150 |
10,340 |
12,900 |
14,630 |
17,280 |
19,680 |
22,600 |
24,700 |
31,300 |
12 |
3,570 |
4,180 |
5,230 |
6,300 |
7,810 |
9,030 |
11,340 |
14,010 |
15,810 |
18,550 |
21,000 |
24,100 |
26,200 |
32,900 |
13 |
4,110 |
4,760 |
5,890 |
7,040 |
8,630 |
9,930 |
12,340 |
15,120 |
16,980 |
19,810 |
22,400 |
25,500 |
27,700 |
34,600 |
14 |
4,660 |
5,370 |
6,570 |
7,790 |
9,470 |
10,820 |
13,340 |
16,220 |
18,150 |
21,100 |
23,700 |
26,900 |
29,100 |
36,100 |
15 |
5,230 |
5,980 |
7,250 |
8,550 |
10,310 |
11,720 |
14,340 |
17,320 |
19,310 |
22,300 |
25,000 |
28,300 |
30,600 |
37,700 |
16 |
5,810 |
6,610 |
7,960 |
9,310 |
11,150 |
12,620 |
15,340 |
18,420 |
20,500 |
23,500 |
26,300 |
29,600 |
32,000 |
39,300 |
17 |
6,410 |
7,260 |
8,670 |
10,080 |
12,000 |
13,530 |
16,340 |
19,510 |
21,600 |
24,800 |
27,600 |
31,000 |
33,400 |
40,800 |
18 |
7,020 |
7,910 |
9,390 |
10,860 |
12,860 |
14,440 |
17,340 |
20,600 |
22,800 |
26,000 |
28,900 |
32,300 |
34,800 |
42,300 |
19 |
7,630 |
8,570 |
10,110 |
11,650 |
13,720 |
15,350 |
18,340 |
21,700 |
23,900 |
27,200 |
30,100 |
33,700 |
36,200 |
43,800 |
20 |
8,260 |
9,240 |
10,850 |
12,440 |
14,580 |
16,270 |
19,340 |
22,800 |
25,000 |
28,400 |
31,400 |
35,000 |
37,600 |
45,300 |
21 |
8,900 |
9,920 |
11,590 |
13,240 |
15,440 |
17,180 |
20,300 |
23,900 |
26,200 |
29,600 |
32,700 |
36,300 |
38,900 |
46,800 |
22 |
9,540 |
10,600 |
12,340 |
14,040 |
16,310 |
18,100 |
21,300 |
24,900 |
27,300 |
30,800 |
33,900 |
37,700 |
40,300 |
48,300 |
23 |
10,200 |
11,290 |
13,090 |
14,850 |
17,190 |
19,020 |
22,300 |
26,000 |
28,400 |
32,000 |
35,200 |
39,000 |
41,600 |
49,700 |
24 |
10,860 |
11,990 |
13,850 |
15,660 |
18,060 |
19,940 |
23,300 |
27,100 |
29,600 |
33,200 |
36,400 |
40,300 |
43,000 |
51,200 |
25 |
11,520 |
12,700 |
14,610 |
16,470 |
18,940 |
20,900 |
24,300 |
28,200 |
30,700 |
34,400 |
37,700 |
41,700 |
44,300 |
52,600 |
26 |
12,200 |
13,410 |
15,380 |
17,290 |
19,820 |
21,800 |
25,300 |
29,200 |
31,800 |
35,600 |
38,900 |
42,900 |
45,600 |
54,100 |
27 |
12,880 |
14,120 |
16,150 |
18,110 |
20,700 |
22,700 |
26,300 |
30,300 |
32,900 |
36,700 |
40,100 |
44,100 |
47,000 |
55,500 |
28 |
13,560 |
14,850 |
16,930 |
18,940 |
21,600 |
23,600 |
27,300 |
31,400 |
34,000 |
37,900 |
41,300 |
45,400 |
48,300 |
56,900 |
29 |
14,260 |
15,570 |
17,710 |
19,770 |
22,500 |
24,600 |
28,300 |
32,500 |
35,100 |
39,100 |
42,600 |
46,700 |
49,600 |
58,300 |
30 |
14,950 |
16,310 |
18,490 |
20,600 |
23,400 |
25,500 |
29,300 |
33,500 |
36,200 |
40,300 |
43,800 |
48,000 |
50,900 |
59,700 |