Московский Авиационный Институт (Государственный Технический Университет)
Лабораторная работа №3.
Экспериментальное определение закона распределения случайной величины.
Вариант №12.
Выполнил: студент гр. 04-212
Кувакин Дмитрий
Проверил: Рудненко Александр Васильевич
Москва 2011
Содержание
Теоретическая справка……………………………………………..……………3
Расчетная часть при выборке состоящей из n=30 элементов…..………….…5
Расчетная часть при выборке состоящей из n=100 элементов.. .………….…8
Расчетная часть при выборке состоящей из n=200 элементов….…………..11
Таблица распределения хи-квадрат Пирсона………………….…..…….…..16
Цель работы: Ознакомить студентов с методами оценивания параметров закона распределения случайной величины по результатам эксперимента и способом проверки гипотез о законе распределения с помощью критерия согласия хи-квадрат Пирсона.
Теоретическая справка. Математическое ожидание
Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой функцией число — её «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину», «показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют математическое ожидание.
Математическим ожиданием случайной величины X называется число
,
то есть математическое ожидание случайной величины — это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий. Если случайная величина X принимает значения . Тогда справедливо равенство
,
Пусть X — случайная величина, M(X) — её математическое ожидание, a — некоторое число. Тогда
M(a) = a;
;
.
Дисперсия случайной величины
Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Выше показано, что достигает минимума по a при a = M(X). Поэтому за показатель изменчивости случайной величины естественно взять именно .
Дисперсией случайной величины X называется число
.
Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений.
Пусть X — случайная величина, a и b — некоторые числа, Y = aX + b. Тогда
D(Y) = a2D(X).
.
Пусть — попарно независимые случайные величины (то есть Xi и Xj независимы, если ). Пусть Yk — их сумма, , тогда дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых,
.
Для любых случайкых величин математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых,
.
Хи-квадрат Пирсона.
С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных. В дальнейших разделах книги много раз встречаются эти распределения.
Распределение Пирсона χ2 (хи-квадрат) — распределение случайной величины
,
где случайные величины независимы и имеют одно и тоже распределение N(0,1). При этом число слагаемых, то есть n, называется «числом степеней свободы» распределения хи-квадрат.
Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категорированных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных.
n=30 Смоделирована выборка, состоящая из элементов: