Дистанционная математическая школа

Код курса: М 7

7-8 классы

Модуль 1. Задачи на движение

Из пункта А и пункта В

Вышли навстречу два пешехода.

От пункта A до пункта В

Дорога только одна.

Идут они с нормальной скоростью,

Кругом хорошая погода.

Вопрос: встретятся они, или нет?

Ответ: по-видимому, да.

Нет. Да. Да. Нет. Да.

Юлий Ким. Песня о двух пешеходах.

Учителю. Мы не излагаем теорию решения задач «на движение», а лишь заостряем Ваше внимание на некоторых аспектах решения задач такого типа.

Для начала с учащимися надо повторить известные единицы измерения расстояния (пройденного пути), времени и скорости.

Кроме обычных единиц измерения расстояния метрической системы мер: километр, метр, сантиметр и т.д., можно познакомить учащихся с другими единицами измерения.

Например, раньше в России использовались такие меры:

1 сажень = 213,36 см

1 аршин = 71,12 см

1 фут = 12 дюймов

1 вершок = 1 ¾ дюйма

1 верста = 500 саженей

1 дюйм = 2,54 см

В настоящее время в англо-американской системе мер используются сухопутная миля, равная 1 609 м, и морская миля, равная 1852 м. Эта морская миля принята всеми странами, как единица расстояния на воздушном и морском транспорте.

Учителю. Особое внимание уделите переводу скоростей из одной системы мер в другую, как наиболее сложному.

Задача 1. (ЧИП -2010) Средняя скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца

(А) 30 км/мин; (Б) 30 м/с; (В) 30 км/ч; (Г) 30 км/с; (Д) 30 м/мин.

Решение.

(А) 30 км/мин - значит 30 километров за минуту, это скорость сверхзвукового самолета Конкорд, можно перевести в привычные 1800 км/час.

(Б) 30 м/с = 1800 м/мин = 108000 м/ч = 108 км/ч – это скорость машины по хорошей дороге.

(В) 30 км/ч - это скорость машины по разбитой дороге;.

(Г) 30 км/с - скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца.

(Д) 30 м/мин – это скорость идущего человека.

Ответ: (Г) 30 км/сек.

Задача 2. (Кенгуру-2006) Длина крокодила от головы до хвоста равна 4,5 метра, а от хвоста до головы – 24 пяди. Это означает, что одна пядь

(А) меньше 15 см (B) больше 15, но меньше 16 см (C) больше 17, но меньше 18 см

(D) больше 18, но меньше 19 см (E) больше 20 см

Решение. Найдем, сколько метров составляет 1 пядь:

4,5 : 24= 0, 1875 (м) = 18,75 (см).

Ответ: (D) больше 18, но меньше 19 см.

При решении задач на равномерное движение по прямой принимаются обычно следующие допущения:

1. Движение на отдельных участках считается равномерным, а пройденный путь S определяется по формуле: S = v·t, где t - время, v – скорость.

2. Скорость, время движения и пройденный путь, как и в реальной жизни, считаются положительными.

3. Повороты движущихся тел принимаются мгновенными, то есть, происходят без затрат времени; скорость при этом тоже меняется мгновенно.

Учителю. Повторите с ребятами, как находится скорость, если известны расстояние и время, и как находится время, если известны расстояние и скорость.

Задача 3. Велосипедист поднимался на холм со скоростью 15 км/ч, а спустился он с холма тем же путем со скоростью 24 км/ч, потратив на спуск на 9 мин меньше, чем на подъем. Чему равна длина дороги, ведущей на холм?

Решение. 1 способ. Пусть х км – длина дороги. Тогда на подъем велосипедист затратил часов, а на спуск – часа. По условию: – = . Отсюда находим: х = 6.

2 способ. Обозначим за х время подъема и заполним таблицу.

	v (км/ч)	t (час)	S (км)
Подъем на холм	15	х	15х
Спуск с холма	24	х -	24 (х - )

Так как путь на холм и с холма одинаков, составляем уравнение: 15х = 24(х - ). Решив уравнение, получим: х = . Значит, длина дороги 6 км.

Ответ: 6 км.

Хорошие задачи на движение можно найти в заданиях международного конкурса Кенгуру, например:

З адача 4. (К-2005) Муравей ползет по поверхности кубика из точки А в точку В по пути, отмеченному стрелками. Чему равна длина этого пути, если ребро кубика равно 12 см?

(A) 36 см (B) 48 см (C) 50 см (D) 60 см

(E) невозможно определить

Решение. Муравей прополз всего по 5 ребрам куба. Значит, он прополз 60 см (5 ∙ 12).

Ответ: (D) 60 см.

Задача 5. (К-1999) Под горку Петя идет быстрее, чем в горку. На склонах горы отмечены точки A, B, C, D, E, F, G, H, K. Расстояния между соседними отмеченными точками одинаковы. Какой путь Петя пройдет быстрее?

(А) C →E→ G→ F (B) А →E→ F (C) D →E→ К→ Н (D) C →E→ Н (Е) D →E→ Н→ F

Решение. Обозначим время, затраченное на преодоление одного участка пути в горку b, а с горки c . Очевидно, что b > c.

Тогда на путь (А) C→E→ G→ F потратим 3b + 2c; на путь (B) А →E→ F потратим 4b + 2c;

на путь (C) D →E→ К→ Н потратим 2b + 4c; на путь (D) C →E→ Н потратим 2b + 3c;

на путь (Е) D→E→ Н→ F потратим 3b + 3c.

Остается попарно сравнить выражения и отбросить большие.

3b + 3c > 3b + 2c, отбросили (Е); 4b + 2c > 3b + 2c , отбросили (В);

2b + 4c > 2b + 3c, отбросили (С).

Осталось сравнить пути (А) и (D). 3b + 2c =(2b + 2c) + b; 2b + 3c = (2b + 2c) + c.

b > c, значит, путь (D) будет пройден за наименьшее время.

Ответ: (D) C →E→ Н.

Рассмотрим возможные виды движения двух тел.

1. Движение навстречу друг другу.

• Е сли два тела движутся навстречу друг другу, то скорость «их сближения» равна сумме скоростей данных тел.

• Если первоначальное расстояние между двумя телами, движущимися навстречу друг другу со скоростями v₁ и v₂, равно S, то время, через которое они встретятся, равно:

t = S : (v₁ + v₂).

2 . Движение в противоположные стороны.

• Если два тела движутся в противоположные стороны, то скорость «их удаления друг от друга» равна сумме скоростей данных тел.

• Расстояние между двумя телами, движущимися в противоположные стороны со скоростями v₁ и v₂, через время t равно

S = S₀ + (v₁ + v₂) t,

где S₀ – первоначальное расстояние между ними. S₀ = 0, если движение тел начинается из одной точки.

3. Движение в одном направлении.

Если два тела, находящиеся перед началом движения на расстоянии S, движутся в одном направлении со скоростями v₁ и v₂, где v₂ > v₁, то возможны два случая.

1. Тело с большей скоростью догоняет тело с меньшей скоростью. В этом случае «скорость сближения» равна разности скоростей (v₂–v₁)_, а время, через которое второе тело догонит первое, равно:

t =S:(v₂ – v₁).

2. Тело с большей скоростью «убегает» от тела с меньшей скоростью. В этом случае «скорость удаления» также равна разности скоростей (v₂–v₁)_, а расстояние, которое будет между телами через время t, равно:

S₁ = S + (v₂ – v₁) t