математика. занятие 1
.1.pdfМОДУЛЬ 1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, БИОМЕХАНИКА, АКУСТИКА.
ЗАНЯТИЕ 1.1
ТЕМА: «ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ПРОИЗВОДНЫЕ.
ИНТЕГРАЛЫ»
Цель занятия: Изучить основы математического анализа, производные первого и высших порядков, определённый и неопределённый интегралы.
Студент должен знать: Методы вычисления производных, основные правила дифференцирования, а так же способы вычисления определённых и неопределённых интегралов, их свойства.
Студент должен уметь: Вычислять, используя основные правила дифференцирования, производные первого и высших порядков, а так же определённые и неопределённые интегралы, используя различные способы интегрирования.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1.Основные элементарные функции.
2.Понятие производной функции первого порядка. Геометрический и физический смысл производной первого порядка. Основные формулы и правила дифференцирования.
3.Сложная функция и её производная. Основные формулы и правила дифференцирования сложных функций.
4.Производная второго и высших порядков. Физический смысл производной второго порядка.
5.Производная функции нескольких аргументов.
6.Дифференциал функции.
7.Понятие о первообразной функции и неопределённый интеграл.
8.Основные свойства неопределённых интегралов и способы их интегрирования.
9.Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
10.Основные свойства определённых интегралов и способы их интегрирования.
Формулы и закономерности, используемые при решении примеров:
1.Основные элементарные функции
Степенная функция y xn , где x - аргумент, n - натуральное число.
Показательная функция y ax , ( а 0, а 1).
Логарифмическая функция y loga x , где а - основание. Эта функция является обратной показательной функции y ax .
Экспоненциальная функция y ex , где е = 2,718 - основание функции. Эта функция является обратной функции натурального логарифма y ln x
|
Тригонометрические функции: y Sinx , |
y Cosx , |
y tgx , |
y ctgx . |
|
|
|
Обратные тригонометрические функции y arcsin x , |
y arccos x , |
y arctgx , |
|||
|
y arcctgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2. Производная функции первого порядка
y/ lim y - производная функции;
xx 0 x
yx/ Vмгн. - мгновенная скорость (физический смысл производной)
|
lim f |
y/ |
tg k - угловой коэффициент касательной к графику функции в |
|
x 0 x |
x |
|
|
|
|
некоторой точке (геометрический смысл производной).
Основные формулы и правила дифференцирования
1) |
y C |
|
|
y/ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
y x |
|
|
y/ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
y ax |
|
|
y/ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4) |
y xn |
|
|
y/ nxn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5) |
y ax |
|
|
y/ ax ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6) |
y ex |
|
|
y/ ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7) |
y log |
|
x |
y / |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
х ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8) |
y ln x |
|
y/ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9) |
y Sinx |
|
y/ |
Cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10) y Cosx |
y Sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
11) y tgx |
|
|
y/ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12) y ctgx |
|
y/ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13) y u v |
y/ |
u/ v/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
14) y u v |
|
y/ |
u/v v/u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
15) y |
u |
|
|
|
y/ |
|
u/v v/u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример: найти производную функций: а) |
y |
x4 |
3x2 6 |
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
S V t |
at 2 |
, |
a,V const . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) по формулам дифференцирования 12, 3, 4 и 1находим |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
y/ |
( |
x4 |
3x2 |
6)/ ( |
x4 |
)/ |
(3x2 )/ (6)/ |
|
1 |
|
4x4 1 3 2x2 1 0 x3 6x ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
б) используя формулы 12, 3, 2, 4находим
2
S / (V t)/ ( |
at2 |
)/ V |
a |
2t V at . |
|
|
|||
0 |
2 |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
2. Сложная функция и её производная:
y f (u) , где u (x) .
yx/ f / (u) ux/
Основные формулы дифференцирования сложных функций
1)(C)/x 0
2)(xx/ ) 1
3)(un )/x nun 1ux/
4)(u )/x ux/ x/ x/
5) |
(u )/x ux/ |
u x/ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
/ |
1 |
/ |
|
6) |
(Cu)/x |
Cux/ |
|
|
u |
|
ux |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
x |
C |
|
|
7) |
u / |
|
ux/ |
u x/ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
8)(au )/x auux/ ln a
9)(eu )/x euux/
10) |
(loga u)/x |
|
|
|
ux/ |
|
|
|
|
||
|
u ln a |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11) |
(lg u)/ |
|
|
ux/ |
|
|
ux/ |
0,4343 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
u ln10 |
|
|
u |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
/ |
|
|
ux/ |
|
|
|
|
|
|
|
12) ln u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13)(Sinu)/x Cosu ux/
14)(Cosu) /x Sinu u x/
15) |
tgu / |
|
1 |
u/ |
|
||||
x |
|
Cos2u |
x |
|
|
|
|
|
/u/
16)(ctgu)x Sinx2u
Пример: найти производную сложной функции y Sin3 (ln x) .
Решение: по формулам дифференцирования 3, 13 находим: yx/ 3Sin2 (ln x) Cos(ln x) (ln x)/x 3Sin2 (ln x) Cos(ln x) 1x
3. Производная второго и высших порядков
3
yxx// ( yx/ )/x - производная второго порядка
|
aмгн lim aср |
lim |
V |
Vt / - |
мгновенное |
ускорение (физический смысл |
||
|
t 0 |
t 0 |
t |
|
|
|
|
|
|
производной второго порядка); |
|
|
|
|
|||
Пример: Найти |
f / (x) , f // (x) , f /// (x) |
для функции |
f (x) x5 |
|
|
|||
Решение: f / (x) (x5 )/ 5x4 |
, f // (x) (5x4 )/ 20x3 |
, f /// (x) (20x3 )/ |
60x2 |
и т.д. |
||||
|
|
x |
|
|
x |
x |
|
|
4.Производная функции нескольких аргументов.
f (x, y, z...) - функция нескольких аргументов
|
( )/x, y= const, ; |
( )/y, z= const, ; |
( )/z, x= const, - частные производные. |
|
z= const |
x= const |
y= const |
Пример: найти частные производные функции z 3x2 y 7xy 13x 8 . Решение: zx/ , y const 6xy 7 y 13
zy/ , x const 3x2 y 7x .
5.Дифференциал функции.
dy yx/ dx - дифференциал функции y f (x) ;
dz xz dx yz dy - полный дифференциал функции, зависящей от нескольких аргументов z f (x, y)
Пример: Электрохимический потенциал вычисляется по формуле:
~
0 RT ln C zF ,
где 0 - постоянная растворителя, R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура в Кельвинах, С – концентрация вещества, z – заряд атома, F – число Фарадея, - потенциал электрического поля.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти: а) частные производные |
|
? |
|
|
|
? б) полный дифференциал d ? |
|||||||||||
C |
|
|
|
||||||||||||||
Решение: |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
|
RT |
|
1 |
|
|
|
|
ZF |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
C |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
~ |
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
d |
|
|
|
dC |
|
d RT |
|
|
dC |
ZFd |
||||||
|
|
|
d |
C |
|||||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
6. Неопределённый интеграл
4
|
f (x)dx F(x) C - неопределённый интеграл, где f (x)dx – подынтегральное |
|
выражение, f (x) – подынтегральная функция, C – постоянная интегрирования, а |
|
x – переменная интегрирования. |
Основные свойства неопределённого интеграла:
Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
( f (x)dx)/x f (x)
Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
d f (x)dx f (x)dx
Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С:
dF(x) F(x) C
Постоянный множитель k можно выносить за знак неопределённого интеграла:
kf (x)dx k f (x)dx
Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:
f1(x) f2 (x) dx f1(x)dx f2 (x)dx
Основные формулы интегрирования
1) |
dx x C |
|
8) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
tgx C |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Cos |
2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
xndx |
|
|
xn 1 |
C, n 1 |
9) |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
ctgx C |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n 1 |
Sin |
2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3) |
|
dx |
ln |
|
x |
|
C |
10) |
|
|
|
dx |
|
|
arctgx C |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4) |
axdx ax / ln a C |
11) |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
arcsin x C |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5) |
exdx ex C |
12) tgxdx ln |
|
Cosx |
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
Cosxdx Sinx C |
13) ctgxdx ln |
|
Sinx |
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5
7)Sinxdx Cosx C
Простейшие способы интегрирования.
1) Непосредственное интегрирование.
Этот способ основан на прямом использовании свойств неопределённых интегралов и формул интегрирования.
Пример: вычислить интеграл (3x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x 3x )dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
(3x4 |
|
|
3x )dx 3x4dx |
|
|
|
x5 |
2 |
x3 / 2 |
|
|||||||||||||
|
x |
xdx 3x dx 3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3x |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
C |
x5 |
2 x3 |
C |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ln 3 |
|
5 |
|
3 |
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Интегрирование подстановкой (заменой переменных).
Способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному из табличных.
Пример: вычислить а) |
|
x3dx |
|
; б) Sin7 xCosxdx . |
|
(x |
4 |
2) |
3 |
||
|
|
|
|
Решение: а) введём подстановку x4 2 t . Продифференцируем левую часть подстановки
по х, а правую по t: |
|
d (x4 2) dt ; |
(x4 2)/ |
dx dt ; |
|
4x3dx dt ,откуда x3dx |
dt |
. Тогда |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x3dx |
|
|
dt |
|
1 |
t 3dt |
1 t 2 |
C |
|
1 |
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(x |
4 |
2) |
3 |
4t |
3 |
4 |
4 ( 2) |
8t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Подставив вместо t его значение x4 2 , получим |
|
|
x3dx |
|
|
|
|
1 |
|
C . |
|||||||||||||||||||||
(x |
4 |
2) |
3 |
8(x |
4 |
2) |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) вычислим интеграл, используя метод подстановки:
Sin 7 xCosxdx |
d (Sinx) dt |
t 7 dt |
t 8 |
|
|||
|
Cosxdx dt |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
Sin8 x |
C |
|
8 |
|||
|
|
6
8. Определённый интеграл
|
b |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
f (x)dx |
lim |
|
f (Ci ) xi - определённый интеграл, |
где а – нижний предел |
|||
|
a |
max xi 0 i 0 |
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
интегрирования, b – верхний предел интегрирования. |
|
|
|
|
|||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
S f (x)dx - |
площадь криволинейной трапеции |
(геометрический |
смысл |
||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
определённого интеграла) |
|
|
|
|
|||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx F (x) |
|
ba F (b) F (a) - формула Ньютона – Лейбница, где |
|
ba |
- знак |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
двойной подстановки.
9.Основные свойства определённого интеграла:
Определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:
|
b |
b |
b |
|
f (x)dx f (u)du f (t)dt ... |
||
|
a |
a |
a |
Определённый интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций, заданных на отрезке [a,b] равен сумме определённых интегралов от слагаемых
функций:
|
b |
b |
b |
b |
|
f (x)dx f (t)dt f (u)du ... f (x)dx f (t)dt f (u)du ... |
|||
|
a |
a |
a |
a |
Постоянный множитель k можно вынести за знак определённого интеграла:
|
b |
b |
|
kf (x)dx k f (x)dx |
|
|
a |
a |
Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определённый интеграл сохранит абсолютную величину, но изменит свой знак на
противоположный, т.е.
|
b |
a |
|
f (x)dx f (x)dx |
|
|
a |
b |
Если пределы интегрирования равны между собой, т.е. a=b, то определённый интеграл равен нулю.
7
|
|
|
|
c |
b |
|
|
Если существуют интегралы |
f (x)dx |
и f (x)dx , то существует также интеграл |
|||||
|
|
|
|
a |
c |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
|
для |
любого |
взаимного |
расположения |
точек |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
c |
b |
|
b |
|
|
|
|
f (x)dx f (x)dx f (x)dx |
|
|
|
|
|||
a |
c |
|
a |
|
|
|
|
Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования сохраняет постоянный знак, то интеграл представляет собой точек того же знака, что и функция, т.е. если
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (x) 0 то и f (x)dx 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx b a при a><b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример: вычислить интегралы: а) x |
|
x2 1dx , б) |
cos xdx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xdx dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
1 |
2 |
z |
3 / 2 |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
x2 1 |
dx |
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z1 / 2dz |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Решение: а) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
нижн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zверх. |
12 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
( 23 13 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
/ 2 |
|
1 |
|
1 |
|
б) |
|
|
|
||||
cos xdx sin x |
|
sin / 2 sin / 6 1 |
|
||||
2 |
2 |
||||||
/ 6 |
|
/ 6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Примеры для решения на занятии:
а) найти производные
1. y x4 2x3 ln x ax
2. y 5ax 8 x
3. y ln x
4. y ln(Cosx) Sin2x
5. y ln(eCosx)
8
6. y
Sin3 x
x
7.y ln(ln x)
8.y (x2 3)5 ln x
9.y 2SinxCosx
10.y e x Sinx2
11.y 4x ln x2
12.y ln sin(x2 1)
Найти производные второго порядка:
13. x A sin t, где A, const
14. y |
2 ln x |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
15. y sin 2 x cos 3x
б) Вычислить неопределённые интегралы:
1. |
|
dx |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
2x |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
|
|
|
2x |
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
2 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
3.e5CosxSinxdx
4.(2 x)3 dx
5.CosSinx5 x dx
6.(x2 1)8 xdx
7.ex3 x2dx
xdx
8. a2 x2
9. xdxln x
t2dt
10.(1 2t3 )2
11.ln ax ln b dx
9
12. |
|
(e x 1) |
|
dx |
|||||||||
|
e |
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(1 |
x |
2 |
) |
5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14. |
e x2 1 xdx |
|
|
|
|||||||||
15. |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(5 |
5x |
2 |
) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
г) Вычислить определённые интегралы:
|
8 |
2 |
x |
|
|
1. |
|
dx |
|||
|
|
||||
|
2 |
|
x |
||
|
|
|
|
||
|
/ 2 |
|
|
||
2. |
SinxCos 2 xdx |
||||
|
0 |
|
|
1dx
3.0 1 x
9
4. xdx
4
/ 3
5.eCosxSinxdx
0
1x3dx
6.0 3 x4
7.8 2x 3 x dx
0
|
0 |
|
3xdx |
|||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
2 |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
xdx |
|
|
|
||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
5 |
|||||||
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
xdx |
|||||
10. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x |
2 |
1) |
|||||||
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 6 |
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
|
|
|
sin 6x dx |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
(1 x)3 dx |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1e x dx
13.e x 5
|
0 |
|
|
14. |
/ 2 |
cos xdx |
|
(2 sin x) |
|||
|
0 |
||
|
|
10