Экономико-математические модели.

Долгое время задачи принятия решений в различных областях производственно-экономической деятельности во многом решались благодаря интуиции и опыту, т.е. искусству менеджера. Усложнение задач принятия решений и расширение круга лиц, принимающих ответственные решения привело к необходимости овладения принципами и методологией науки принятия решений. Научный подход к использованию задач принятия решений основан на следующем.

Необходимым условием является наличие достаточно мощной вычислительной техники, способной в короткое время перерабатывать значительные массивы информации. Причем решение задачи может осуществляться в машине, если задача будет точно сформулирована в понятных для машин терминах, по заранее отработанным методам, введенным в машину в форме программ. Поэтому умение составлять формализованные описания задач и наличие достаточно эффективных математических методов их численного анализа является другим необходимым условием научного подхода к проблемам принятия решений.

Математическая модель задачи представляет собой формальное описание основного содержания задачи. Процесс ее составления требует изучения сущности моделируемой проблемы, познаний в области математического аппарата, который предлагается использовать при численном анализе модели, а также возможностей вычислительной техники.

Общая схема составления моделей задач принятия решений состоит в следующем. Прежде всего, необходимо выделить набор параметров, которые описывают процесс принятия решения.

Далее следует на основании предварительного анализа моделируемого объекта выделить и четко сформулировать цель, ради достижения которой принимается то или иное решение. Как правило, целевую установку процесса принятия решения представляют в виде некоторой функции, зависящей от параметров управления, значения которой дают оценку качества принятого решения. Функцию эту принято называть целевой функцией или показателем качества ее решения.

Лицо, принимающее решение (ЛПР) стремится выбрать такой набор параметров управления, при котором целевая функция в зависимости от ее физического смысла примет либо как можно меньшее, либо как можно большее значение. Если, например, целевая функция выражает затраты, связанные с реализацией какого-либо проекта, то ее значение должно быть как можно меньшим, т.е. целевая функция будет минимизироваться. Если же целевая функция – это объем прибыли от реализации продукции, то такая функция будет максимизироваться. Значение целевой функции дает возможность сравнивать различные варианты решений и выбрать из них оптимальное решение.

Как правило, в задачах принятия решений не любой набор параметров управления может быть практически реализован. Так, если ЛПР стремится максимизировать выпуск некоторой продукции, то обычно, он бывает ограничен наличным запасом тех или иных ресурсов, необходимых для производства. Решение – набор параметров управления, при реализации которого каких-то ресурсов требуется больше наличного их запаса, не может быть осуществлено (предполагается, что пополнение ресурсных запасов исключено). Аналогичное положение возникает, если некоторые значения параметров управления несовместимы с их физическим смыслом. Например, параметр управления, характеризующий время течения некоторого процесса, нельзя полагать равным отрицательному числу – ведь время движется только вперед. Поэтому выбирать лучшее решение необходимо среди практически реализуемых, т.е. возможных решений. Выделение среди всех решений множества возможных решений производится с помощью выражения по возможности всех ограничительных факторов через параметры управления и требования, чтобы значения полученных функций – ограничений – находились в заранее заданных пределах.

Пример составления математической модели задачи планирования производства. Постановка задачи: допустим, что некоторое гипотетическое предприятие производит конечную продукцию одного вида. Для производства конечной продукции необходимы затраты ряда исходных ресурсов – трудовых, материальных, энергетических, временных, запасы которых ограничены. Производство осуществляется с помощью одного из технологических способов. Каждый из технологических способов производства характеризуется количеством конечной продукции, выпускаемой в единицу времени, и всех расходуемых при этом ресурсов. Задача состоит в определении такого плана использования различных технологических способов, при котором предприятие выпускало бы максимально возможное количество конечной продукции в пределах имеющихся запасов исходных ресурсов.

Формализация условия задачи – построение математической модели. Рассмотрим произвольный технологический способ производства, имеющий номер j. Количество конечной продукции, производимой по j-му технологическому способу в течение единицы времени, обозначим через C_j. Обозначим число j-х технологических способов производства через n . Обозначим число исходных i-х ресурсов, необходимых для производства конечной продукции через m . Пусть b_i – величина запаса i-го исходного ресурса, которым располагает предприятие. Обозначим через a_ij расход i-го исходного ресурса за единицу времени использования j-го технологического способа производства.

В качестве параметров управления в данной задаче примем время функционирования каждого из технологических способов производства. Положим X_j равным времени, в течение которого предприятие выпускает продукцию, используя j-й технологический способ производства.

Составление плана производства эквивалентно выбору (нахождению) конкретных значений для каждого из неизвестных пока параметров управления X_j . Целевой функцией в рассматриваемой задаче является выражение количества конечной продукции через параметры управления X_j , т.е. тот план производства считается лучше, при котором выпуск конечной продукции больше. Если C_j*X_j - это объем конечного продукта, произведенного j-м технологическим способом, то общий объем конечного продукта, выпущенного предприятием, который должен быть максимизирован, представляем в виде следующего выражения

. (1)

Определим множество допустимых планов функционирования предприятия. Для этого определим количество ресурсов, необходимых предприятию для выполнения плана. В течении X_j единиц времени предприятие работает, используя j-й технологический способ производства и, следовательно, расходует при этом a_ij*X_j единиц i-го ресурса. Полный расход всех i-х ресурсов, используемых при всех j-х технологических способах производства, определяется из выражения

. (2)

Поскольку запас i-го ресурса, которым располагает предприятие, равен b_i , то полный расход этого ресурса не превосходит величину его запасов.

Учитывая физическую сущность параметров управления (время исполнения технологических способов не может быть отрицательным), математическая постановка задачи должна быть дополнена условиями, не допускающими отрицательные значения параметров управления X_j

. (3)

Система неравенств (2) и (3), состоящая из m + n неравенств, является полной системой ограничений задачи и определяет множество допустимых планов.

Математическая модель рассматриваемой задачи планирования работы предприятия определяется соотношениями (1), (2), (3) и состоит в максимизации целевой функции (1) при соблюдении ограничений (2) и (3).

Целевая функция модели и левые части ее ограничений – неравенств линейно зависят от параметров управления. Такие модели называются задачами линейного программирования, а математические методы решения подобных задач – линейным программированием (одной из основных дисциплин, составляющих математический аппарат экономики).

При изучении методов моделирования структур производственных систем необходимо рассмотреть следующие вопросы: определение основных структурных характеристик; определение структурных параметров органов управления организации. При этом можно использовать следующую информацию.

Моделирование формальной структуры включает сбор информации, характеризующий её в статике (тип организационной структуры, распределение прав и обязанностей и т.п.), и изучение ее в динамике (определение эффективности организационной структуры с позиций достижения конечных результатов деятельности).

При описании организационной структуры большое значение имеет фиксирование формальных каналов коммуникаций, которые представляют интерес для рационального распределения функций и обязанностей в ходе подготовки и принятия решений. Необходимо изучать также неформальную структуру организации. Выяснение здесь ключевых моментов ведется посредством наблюдения за групповыми и межличностными отношениями и их изменениями, проведения серий интервью, что дает возможность определить морально-психологический климат в организации.

Первое, с чего можно начинать сбор информации, это подразделения, отделы, должностные лица предприятия. Их взаимодействие между собой, способы принятия и выполнения решений, их деятельность по обеспечению работоспособности предприятия. Информация для данной работы относится к «внутреннему» типу. Ее получение возможно частично из документов предприятия, а частично - в беседе с сотрудниками.

При проведении моделирования структуры организации необходимо располагать методикой, позволяющей определять некоторые характеристики ее структуры и давать им количественную оценку. Целесообразность определения таких характеристик состоит в том, что при моделировании появляется необходимость оценивать качество структуры организации и ее элементов с позиций системного анализа, а также сравнивать различные варианты организационных структур между собой. Содержание методики рассмотрим в ходе изучения организационной структуры конкретного предприятия. Предприятие является открытым акционерным обществом, относится к электротехнической промышленности и производит светотехническое оборудование для автомобильной промышленности. Численность персонала предприятия на конец 2006 г. составляла 325 человек. Организационная структура предприятия (упрощенная) представлена на рис. 4.

Предварительный анализ показывает, что на предприятии применена линейно-функциональная структура управления. При этом каждый структурный элемент (отдел, служба, производственное подразделение) выполняет конкретные задачи и обладает определенными правами и обязанностями.

Рис. 4. Организационная структура предприятия

Для проведения структурного анализа организационной структуры предприятия представим ее в виде графа G = {Х, U}, где Х - множество вершин (|Х| = n), соответствующее множеству структурных элементов; U - множество ребер (|U| = m), соответствующее множеству связей между структурными элементами предприятия.

Граф G, соответствующий данному предприятию, показан на рис. 5, где цифры обозначают: 1 - директор предприятия; 2 - зам. директора по производству; 3 - зам. директора по снабжению и сбыту; 4 - зам. директора по персоналу; 5 - главный бухгалтер; 6 - производственный отдел; 7 - производственные подразделения; 8 - отдел маркетинга; 9 - отдел материально-технического снабжения; 10 - отдел кадров; 11 - бухгалтерия.

Д ля описания графа G построим матрицу смежности (табл. 5), которая для неориентированного графа имеет вид А = ||а_ij||, где а_ij - элементы матрицы смежности, определяемые следующим образом:

1 - при наличии связи между элементами i и j,

а_ij =

0 - при отсутствии связи.

Рис. 5. Структурный граф предприятия

Таблица 5

Матрица смежности

1. По матрице смежности определим ранг каждого эле-

мента

для нашего случая ΣΣ а_ij = 20. Ранги структурных элементов приведены в последнем столбце табл. 5.

Чем выше ранг элемента, тем более сильно он связан с другими элементами и тем более тяжелыми будут последствия при потере качества его функционирования. В нашем случае наиболее высокий ранг (0,2) имеет первый элемент структуры (директор).

2. Проверим связность структуры.

Для связных структур (не имеющих обрывов и висячих элементов) должно выполняться условие

Правая часть неравенства определяет необходимое минимальное число связей в структуре графа, содержащего n вершин.

Для нашего случая n (количество структурных элементов) равно 11 и условие 1/2 20 = 11-1 выполняется, т. е. структура является связной.

3. Проведем оценку структурной избыточности R, отражающей превышение общего числа связей над минимально необходимым:

где m - множество ребер графа (1/2 количества связей в матрице смежности); n - количество вершин (элементов) структуры;

где а_ij - элементы матрицы смежности.

Данная характеристика является косвенной оценкой экономичности и надежности исследуемой структуры и определяет принципиальную возможность функционирования и со хранения связей системы при отказе некоторых ее элементов. Система с большей избыточностью R потенциально более надежна, но менее экономична. Возможны три варианта: если R< 0, то система несвязная; R = 0, система обладает минимальной избыточностью; R > 0, система имеет избsточность; чем выше R, тем выше избыточность.

Для нашего случая R = 20٠1/(11 - 1) - 1 = 0, т. е. структура имеет минимальную избыточность.

4. Определим неравномерность распределения связей - Е. данный показатель характеризует недоиспользование возможностей данной структуры, имеющей m ребер и n вершин, в достижении максимальной связности. Величина Е определяется по формуле

где - вес i-го элемента, или количество связей i- го элемента со всеми остальными.

Для нашего случая Е= =3,41.

Однако для сравнения различных структур по неравно мерности связей используют относительную величину:

где Е_mах - максимальное значение неравномерности связей, которое достигается в системе, имеющей максимально возможное число вершин, имеющих одну связь.

Величину Е определяют по эмпирической формуле

где

Для нашего случая

Тогда

Определим величину Е для нашего случая. Е = = 0,4.

Величина Е для различных типов структур изменяется от 0 (для структур с равномерным распределением связей) до 1.

В нашем случае распределение связей в структуре довольно равномерное.