2. Аксонометрические проекции

Выберем для определенности фронтальную КП проецирования и последовательность вращений объекта и его ОСК x₀y₀z₀:

_y_x_z

Такая очередность поворотов дает привычную вертикальную ориентацию проекции y' оси y₀ при произвольных углах первых двух вращений _y и _x. Лишь третье вращение ОСК на угол _z поворачивает проекцию этой оси на такой же угол.

Задача аксонометрии состоит в определении координат проекций точек осевых масштабов m_x, m_y, m_z и ориентации проекций осей ОСК x',y',z' на ФКП. Рассчитаем матрицу сложного преобразования (трех вращений) объекта в неподвижной СК xyz:

m_xx m_xy m_{xz  (x) орт}

R_yxz=R_y(_y) R_x(_x) R_z(_z) = m_yx m_yy m_{yz  (y) орт} (1)

m_zx m_zy m_{zz  (z) орт}

(а при аффинных вращениях этот результат соответствует R_yxz^T)

Элементы матрицы являются j-ми координатами i-ых ортов ОСК:

m_xx = cos(_y) cos(_z) – sin(_x) sin(_y) sin(_z);

m_xy = cos(_y) sin(_z) + sin(_x) sin(_y) cos(_z);

m_xz = – cos(_x) sin(_y);

m_yx = – cos(_x) sin(_z);

m_yy = cos(_x) cos(_z);

m_yz = sin(_x);

m_zx = sin(_y) cos(_z) + sin(_x) cos(_y) sin(_z);

m_zy = sin(_y) sin(_z) – sin(_x) cos(_y) cos(_z);

m_zz = cos(_x) cos(_y).

Получим соотношения для расчета углов _x, _y, _z наклона осей ОСК к ФКП (из (1) и так как длины m_x, m_y, m_z (гипотенузы) - единичные):

Sin(_x)=m_xz= – cos(_x) sin(_y);

Sin(_y)=m_yz= sin(_x); (2)

Sin(_z)=m_zz= cos(_x) cos(_y).

Из которых следуют независимость углов _x, _y, _z от угла _z последнего вращения в формуле (1) и условие связи углов

Sin²(_x)+Sin²(_y)+Sin²(_z)=1. (3)

Оно означает, что свободно могут быть выбраны только 1 или 2 угла наклона осей ОСК к ФКП.

Пример:

_x =45, _y=30  Sin²(_z)= 1-(0.4071)²-(0.5)²=0.25  _z=30;

Сами:

_x =45, _y=45  Sin²(_z)= 1-(0.5)²-(0.5)²=0_z=0;

_x =90, _y=_z=0;

Из формулы (2) следует решение обратной задачи: для получения желаемых углов _x, _y, _z углы вращения ОСК следует выбирать из условий:

_x = _y (4)

Масштабные коэффициенты осевых искажений (из прямоугольных треугольников):

(5)

Тогда m_x= cos(_x)1,

m_y= cos(_y)1,

m_z= cos(_z)1.

Таким образом, масштабные коэффициенты есть длины отрезков – проекций ортов ОСК на КП. Из формул (1), (3) и (5) следует условие взаимосвязи масштабов:

m²_x+m²_y+m²_z=2. (6)

Это означает, что свободно могут быть выбраны только один или два масштаба.

Иногда нужно обеспечить желаемые соотношения масштабов:

m_x:m_y:m_z = k_x:k_y:k_z.

Тогда, приняв m_i = ck_i, из условия (6) получим:

(7)

Ориентация проекций осей ОСК на ФКП может быть определена, например, углами _y, _xy, _yz, _zx, причем _xy+_yz+_zx=360:

cos (_y) = m_yy/m_y = cos (_z)  _y=_z

(8)

Рис.2. Вращение объекта и его ОСК (fi)

Рис.3. Расчет параметров проекции, углы наклона осей ОСК к ФКП (psi  

Рис.4. Расчет параметров проекции, углы между проекциями осей ОСК (g  )

Из анализа данных формул следуют выводы:

1. Только углы _x и _y определяют коэффициенты осевых искажений (m_x,m_y,m_z в плоскости проецирования) и углы между проекциями осей ОСК (_xy,_yz,_zx);

2. Только угол _z последнего поворота ОСК определяет угол _y вертикальной ориентации проекции ОСК на ФКП. Именно поэтому вращение ОСК вокруг оси z выбрано последним, чтобы было возможно получать разнообразные ракурсы изображения объекта с привычным вертикальным расположением оси y'.

При построении аксонометрической проекции в качестве масштабов m_x,m_y,m_z мы задаемся единичным отрезками на осях x', y' и z'. Таким образом, остальные параметры ортогональной аксонометрической проекции можно рассчитать по вытекающим из (5) формулам:

сos²(_x) = m_y², сos²(_y) = (1-m_z²)/m_y²

cos(_x) = m_x, cos(_y) = m_y, cos(_z) = m_z (9)

сos²(_xy) = (1-m_x²)/(1-m_y²)

сos²(_yz) = (1-m_y²)/(1-m_z²)

сos²(_zx) = (1-m_z²)/(1-m_x²)

Полная матрица ортогонального преобразования на ФКП с учетом последней операции проецирования равна (координата z  0):

m _xx m_xy 0

A_f = m_yx m_yy 0

m_zx m_zy 0

Элементы матрицы A без последнего вращения (при _z=0):

m_xx = cos(_y)cos(_z) – sin(_x)sin(_y)sin(_z) = cos(_y)

m_xy = cos(_y)sin(_z) + sin(_x)sin(_y)cos(_z) = sin(_x)sin(_y)

m_yx = – cos(_x)sin(_z) = 0 (10)

m_yy = cos(_x)cos(_z) = cos(_x)

m_zx = sin(_y)cos(_z) + sin(_x)cos(_y)sin(_z) = sin(_y)

m_zy = sin(_y)sin(_z) – sin(_x)cos(_y)сos(_z) = – sin(_x)cos(_y)

Аксонометрическая проекция окружности p(t) радиуса r, лежащей в плоскости П под углом к КП, равным 90. Ее проекцией является эллипс p'(t) с полуосями a=r и b=rsin()r. Так как координатные плоскости ОСК образуют с ФКП углы 90, то длины и ориентации полуосей эллипсов как проекций окружностей на гранях модельного куба, равны:

a_f=rz', a_h=ry', a_p=rx' (11)

, ,

Пример:

Построить аксонометрическую проекцию куба со вписанными в его грани окружностиями при соотношении масштабов m_x:m_y:m_z= 6:5:4.

Решение:

1. Вычисляем по (7):

m_x=6С=0.967

m_y=5С=0.806

m_z=4С=0.645

2. Определим по (8) углы ориентации проекций осей ОСК:

_xy=101.2 _yz=150.6 _zx=108.2

3. Определим по (11) длины полуосей эллипсов, являющихся фронтальными проекциями окружностей радиуса r на передней, верхней и правой гранях куба:

a_f=a_h=a_p=r

b_f=0.764r, b_h=0.592r b_p=0.255r

4. Для построения изображения необходимо рассчитать углы вращения и матрицу проецирования по (8), (9) и (10):

_y=-18.4 _x=36.3 _z=0

0.949 -0.187 0

A_f = 0 0.806 0

-0.316 -0.562 0

Таким образом, мы рассмотрели основы аксонометрии – методики построения общей триметрической ортогональной проекции, у которой все осевые масштабы попарно не равны друг другу. Количество триметрических проекций бесконечно, стандартная триметрия отсутствует.

В диметрических проекциях два из трех масштабов равны друг другу, что дает три варианта выбора углов вращения ОСК.

В стандартной диметрической проекции соотношение масштабов составляет 2:2:1.

При построении ортогональной изометрической проекции выбор углов вращения ОСК связан условием равенства всех масштабов.