20. Преобразование координат: параллельный перенос, поворот осей.

Преобразование координат при параллельном переносе:

OO1+O1m=r

O1(a,b)=>y=Y+b,x=x+a

X=x-a, Y=y-b

Преобразование координат при повороте осей:

x=|r|*Cos(φ+a)=|r|*(Cos(a)*Cos(φ)-Sin(a)*Sin(φ))

y=|r|*Sin(φ+a)=|r|*(Sin(a)*Cos(φ)+Cos(a)*Sin(φ))

y1= Sin(φ), x1= Cos(φ)

x=x1Cos(a)-y1Sin(a)

y=x1Sin(a)+y1Cos(a)

21. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду(можно на конкретном примере).

a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2b₁x+2b₂y=c=0

1. d(дельта)=|a₁₁ a₁₂|

|a₂₁ a₂₂|

d>0 - эллипс

d<0 - гипербола

d=0 – парабола

2. x=x₁Cos(a)-y₁Sin(a)

y=x₁Sin(a)+y₁Cos(a)

Осуществляем поворот

3. x=X+a, y=Y+b

Перенос координатных осей

22. Матрицы, основные определения.

Опр1: Матрицами в математике называются математические объекты имеющие вид таблицы.

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A=( a₂₁ a₂₂ … a_2n) - a[m*n]

A_m1 a_m2 … a_mn

A+[a_ij],(i=1,2…m; y1,2…n)

Опр2: Если число n строк совпадает с числом её столбцов, она называется квадратной и имеет размерность a[n*n]

Опр3: Элементы a₁₁ a₂₂ … a_mn, квадратной матрицы A образуют, так называемую главную диагональ, а элементы a_n-1 a_(n-1)2 … a_in- образуют побочную диагональ.

Опр4: Квадратная матрица называется треугольной, если все её элементы, стоящие выше или ниже главной диагонали равны нулю.

Опр5: Квадратная матрица называется диагональной, если все стоящие не на главной диагонали равны нулю.

Опр6: Диагональная матрица, все элементы которой равны единице, называется единичной

1 0 … 0

E=(0 1 … 0)

0 0 … 1

Опр7: Матрица в которой все элементы равны 0, называется нулевой.

23. Линейные операции над матрицами, перемножение матриц.

1. Равенство матриц. Две матрицы A и B с одинаковыми размерностями [m*n], называются равными если элементы матриц с одинаковыми индексами совпадают.

2. Сложение матриц. Матрица C=A+B, называется сумма матриц A и B, если каждый элемент матрицы C является суммой элементов матриц с одинаковыми индексами

C_ij=a_ij+b_ij(i=1,2…m; j=1,2…n)

Свойства сложения матриц:

1. Коммутативность A+B=B+A

2. Ассоциативность (A+B)+C=A+(B+C)

3. A+0=A

3. Умножение матриц на число. C= λ*A, A[m,n], если для каждого элемента матрицы C, справедливо соотношение C_ij= λ *a_ij(i=1,2..m; j=1,2..n)

Свойства умножения матрицы на число:

1. (λ*m)*A= λ*(m*A)

2. λ(A+B)=A+ λB

3. (λ+m)A= λA+mA

4. Умножение матриц. Матрица C[m,n]=A[m,r]*B[r,n], если для любого элемента матрицы C имеент место быть соотношение:

C_ij=ai₁b_1j+a_i2b_2j+..+a_irb_rj

То есть строка на столбец.

Свойства умножения:

1. A*B≠B*A

2. (A*B)*C≠A*(B*c)

3. A+B)*C=A*C+B*C

4. A*E=A

5. A*0=0

6. Det(A*B)=detA*DetB

24. Обратная матрица, её построение.

Опр1: Матрица A^-1 – называется обратной по отношению к квадратной матрице An – n-порядка, если A*A^-1=A^-1*A=E

A11 A21 A31

A^-1=1/det(A) *(A12 A22 A32)

A13 A23 A33

25. Матричный метод решения линейных систем. Формулы Крамера.

26. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.

Элементарные преобразования матрицы:

1. Перемены мест 2 строк или 2 столбцов данной матрицы.

2. 2. Умножение строки/столбца на произвольное число отличное от нуля.

3. 3. Прибавление строки/столбца к другой строке/столбцу умножение на некоторое число

Замечание: Матрицы получаемые одна из другой путём Э.П. называются эквивалентными. A~B

Опр1: Минором порядка k матрицы A называют определитель порядка k элементы которого лежат на пересечении любого k строк и k столбцов

Опр2: Наибольший порядок, не равный нулю минора матрицы A, называется рангом матрицы. rang A=r

Опр3: Если r-ранг A, то любой не равный нулю минор порядка n, называется базисным минором.

Замечание: Для нахождения ранга A воспользуемся тем что ранг эквивалентных матриц совпадают.

27. Метод Гаусса решения линейных систем (на примерах). Исследование линейных систем.

28. Собственные векторы матрицы. Их нахождение.

29. Общее уравнение поверхности второго порядка. Матрицы квадратичной формы.

30. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

31. Линейные пространства, размерности и базис.

32. Линейный оператор и его матрица.

33. Евклидовы пространства.

34. Альтернатива Фредгольма