23

Основные положения специальной теории относительности

В основе классической механики лежит механический принцип относительности (или принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Этот принцип означает, что законы динамики инвариантны (то есть неизменны) относительно преобразований Галилея, которые позволяют вычислить координаты движущегося тела в одной инерциальной системе (K), если заданы координаты этого тела в другой инерциальной системе (K'). В нерелятивистской физике принималось как очевидный факт существование единого мирового времени t, одинакового во всех системах отсчета.

В частном случае, когда система K' со скоростью υ вдоль положительного направления оси x системы K, преобразования Галилея имеют вид:

x = x' + υt,   y = y',   z = z',   t = t'.

K и K' – две инерциальные системы отсчета

Закон преобразования скоростей

u_x = u'_x + υ,   u_y = u'_y,   u_z = u'_z.

 

Ускорения тела во всех инерциальных системах одинаковы:

 

Следовательно, уравнение движения классической механики (второй закон Ньютона)

не меняет своего вида при переходе от одной инерциальной системы к другой.

Конец XIX века:

1. Абсолютного эфира как среды, в которой распространяются световые волны, не существует (опыты Майкельсона–Морли). Следовательно, для света не существует избранной (абсолютной) системы отсчета.

2. Теория Максвелла: скорость распространения электромагнитных волн в любой инерциальной системе координат имеет одно и то же значение, равное скорости света в вакууме.

K’: скорость света = с

К : скорость света = с + v ?

3. Корпускулярно-волновой дуализм. …

А. Эйнштейн (1905 г.), два постулата:

1. Принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой (принцип относительности классической механики обобщается на все процессы природы, в том числе и на электромагнитные) - принцип относительности Эйнштейна.

2. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Постулаты СТО находятся в явном противоречии с классическими представлениями.

Время t = 0, координатные оси двух инерциальных систем K и K' совпадают, в общем начале координат произошла кратковременная вспышка света.

Время t: системы сместились относительно друг друга на расстояние υt, а сферический волновой фронт в каждой системе будет иметь радиус ct, так как системы равноправны и в каждой из них скорость света равна c.

K: центр сферы находится в точке O,

K': он будет находиться в точке O'.

Центр сферического фронта одновременно находится в двух разных точках!

Причина недоразумения – в допущении, что положение фронтов сферических волн для обеих систем относится к одному и тому же моменту времени (преобразования Галилея, где время в обеих системах течет одинаково: t = t').

СТО: преобразования Лоренца, которые при скоростях движения, близких к скорости света, позволяют объяснить все релятивисткие эффекты, а при малых скоростях (υ << c) переходят в формулы преобразования Галилея. СТО не отвергла старую классическую механику Ньютона, а только уточнила пределы ее применимости.

Такая взаимосвязь между старой и новой, более общей теорией, включающей старую теорию как предельный случай, носит название принципа соответствия.

Преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца (1904 г., до появления СТО – преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики Максвелла): Связь между координатами (x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x', y', z') и моментом времени t' этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K'.

Преобразования Лоренца имеют вид:

K' → K                K → K' β = υ / c.

 

Следствия:

Релятивистский эффект замедления времени

Точка x' системы K' : процесс длительностью τ₀ = t'₂ – t'₁ (собственное время), где t'₁ и t'₂ – показания часов в K' в начале и конце процесса.

Длительность τ этого процесса в системе K будет равна

 

Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское (Лоренцево) сокращение длины.

Относительность одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K' (x'₁ ≠ x'₂) одновременно с точки зрения наблюдателя в K' (t'₁ = t'₂ = t') происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь

Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными.

Световой импульс достигает концов стержня одновременно в системе отсчета K' (a)

и не одновременно в системе отсчета K (b).

Преобразования Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний.

Инвариантные физические величины, которые не изменяются при переходе от одной системе отсчета к другой:

Скорость света c в вакууме, которая в СТО приобретает абсолютный характер.

Пространственно-временной интервал между событиями, отражающий абсолютный характер пространственно-временных связей.

Пространственно-временной интервал определяется соотношением:

где t₁₂ – промежуток времени между событиями в некоторой системе отсчета,

l₁₂ – расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той же системе отсчета.

Когда одно из событий происходит в начале координат (x₁ = y₁ = z₁ = 0) системы отсчета в момент времени t₁ = 0, а второе – в точке с координатами x, y, z в момент времени t, пространственно-временной интервал между этими событиями записывается в виде

 

С помощью преобразований Лоренца можно доказать, что пространственно-временной интервал между двумя событиями не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность расстояний и промежутков времени, протекание физических процессов носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Если одно из событий представляет собой вспышку света в начале координат системы отсчета при t = 0, а второе – приход светового фронта в точку с координатами x, y, z в момент времени t, то

x² + y² + z² = c²t²,

и, следовательно, интервал для этой пары событий s = 0. В другой системе отсчета координаты и время второго события будут другими, но и в этой системе пространственно-временной интервал s' окажется равным нулю, так как

 

Релятивистский закон сложения скоростей.

K' : вдоль оси x' движется частица со скоростью

u'_x = 0, u'_z = 0.

K:

Дифференцируя преобразования Лоренца можно найти:

Это – релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости систем отсчета K и K'.

При υ << c релятивистские формулы переходят в формулы классической механики:

u_x = u'_x + υ,  u_y = 0,  u_z = 0.

 

Если в системе K' вдоль оси x' распространяется со скоростью u'_x = c световой импульс, то для скорости u_x импульса в системе K получим

 

Таким образом, в системе отсчета K световой импульс также распространяется вдоль оси x со скоростью c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости света.