15

Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка”

Кафедра теоретичної радіотехніки і радіовимірювань

ДИСКРЕТИЗАЦІЯ НЕПЕРЕРВНИХ СИГНАЛІВ

Методичні вказівки до лабораторної роботи № 3

з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці”

для студентів базового напряму “Радіотехніка”

ЗАТВЕРДЖЕНО

на засіданні кафедри

“Теоретична радіотехніка

та радіовимірювання”

Протокол № 6 від 26 березня 2010 р.

Львів 2010

Дискретизація неперервних сигналів. Методичні вказівки до лабораторної роботи № 3 з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці” для студентів базового напряму “Радіотехніка” / Упорядники: Желяк Р.І., Мелень М.В.- Львів: НУ ЛП, 2010. - с. 15.

Упорядники: Желяк Р.І., проф., канд. техн. наук,

Мелень М.В., доц., канд. техн. наук

Рецензенти: Волочій Б.Ю., проф., докт. техн. наук,

Бондарєв А.П., проф., докт. техн. наук

Відповідальний за випуск: Надобко О.В., доц., канд. техн. наук

© Желяк Р.І., Мелень М.В., 2010

1. Мета роботи

Метою роботи є вивчення процесу дискретизації неперервних сигналів з обме-женим спектром та відновлення неперервного сигналу з дискретизованого.

2. Основні положення

У переважній більшості випадків для сигналів, які утворюються у джерелах інформації, характерні повільні зміни у часі миттєвих значень та велика тривалість. Аналіз спектральних властивостей таких сигналів показує, що їх спектральний склад в основному зосереджується в обмеженій смузі частот 0 ... _max, а спект-ральні складові з частотами вищими від _max практично відсутні. Такі сигнали прийнято називати сигналами з обмеженим спектром. До них насамперед можна віднести звукові сигнали у телефонному зв’язку та радіомовленні, відеосигнали зображення у телебаченні. Так, для високоякісного передавання згаданих сигналів достатньо передавати їх спектральний склад у смузі частот із верхньою граничною частотою F_max, не більшою за 4...5 кГц; 18...20 кГц а 6,5 МГц відповідно. Сукупність миттєвих значень таких сигналів на довільному часовому інтервалі описується неперервною (нескінченною) множиною точок, кожна з яких відобра-жає миттєве значення сигналу у відповідний момент часу і може приймати непе-рервну (нескінченну) множину значень. Отже, уся множина точок містить у собі нескінченну кількість інформації, тому вона часто є малопридатною для сприй-няття, аналізу та ефективної обробки і потребує стиску первинної інформації без суттєвої втрати корисної інформації. Відзначимо, що аналогові сигнали можна безпосередньо передавати в каналі зв’язку від джерела інформації до адресата. Проте оскільки згадані сигнали перетинаються як у часовій, так і в частотній областях (є корельованими), то одночасну незалежну передачу їх від різних джерел інформації до різних адресатів в одному каналі зв’язку здійснити неможливо.

З іншого боку неідеальність та нестабільність характеристик апаратури та кана-лу зв’язку (середовища), у яких поширюється аналоговий сигнал, завжди супро-воджується спотворенням його форми та втратою корисної інформації. Зменшення спотворень та часткове усунення вказаних втрат можна досягти перетворенням неперервного сигналу в дискретний у часі або на множині значень, що еквівалентно представленню його скінченою множиною точок. Таке перетворення сигналу полегшує зберігання та обробку інформації, дає змогу збільшувати кількість сигналів, які поширюються по одному й тому ж каналу зв’язку (ущільнювати канали зв’язку), проводити стискання первинної інформації тощо.

Розглядаючи математичні моделі (ММ) та властивості ідеалізованих сигналів з обмеженим спектром (рис. 1)

а) – ідеального низькочастотного сигналу

 , (1)

б) – ідеального низькочастотного затриманого сигналу

 , (2)

було встановлено, що хоча згадані сигнали і їх спектри повністю перетинаються як в часовій, так і в частотній областях, вони за виконання умови , стають ортогональними (некорельованими).

Рис. 1. Спектральні характеристики та часові діаграми ідеального низькочастот-ного сигналу –а) та ідеального затриманого низькочастотного сигналу – б).

Звідси випливає, що будь який сигнал з обмеженим спектром можна записати у вигляді узагальненого ряду Фур’є , в якому при виборі ортого-

нальних базисних функцій коефіцієнти розкладу стають рівними миттєвим значенням (відлікам) сигналу s(t) в моменти часу , і подати його у вигляді:

. (3)

Подання неперервного сигналу s(t) через сукупність відліків у вигляді ряду (3) дозволило сформулювати важливу для практичного використання теорему про відліки (теорема Котєльнікова):

"Довільний неперервний сигнал, спектр якого не містить складових з часто-тами більшими ніж , повністю визначається послідовністю своїх миттєвих зна-чень в моменти часу , відстань між якими не більше ніж секунд".

Саме виконання цієї умови дає можливість відновлення неперервного сигналу із дискретизованого без спотворень (без втрати первинної інформації).

Подання неперервного сигналу s(t) рядом (3) ілюструє рис. 2.

Рис.2. Подання неперервного сигналу рядом Котєльникова.

Отже аналоговий сигнал з обмеженим спектром можна описати множиною його миттєвих значень s(t_і) у фіксовані моменти часу t₁, t₂, ... , t_n. Такий процес перетворення аналогового сигналу називають дискретизацією, а миттєві значення s(t_і) дискретизованого сигналу - відліками. На рисунку 3 вони позначені вертикаль-ними товстими лініями, висота яких відповідає значенням s(t_і).

Очевидно, що збільшення інтервалу дискретизації (часовий інтервал t між двома сусідніми відліками) збільшує пропускну здатність каналу зв’язку, але одночасно збільшує і похибку відтворення первинного сигналу s(t). Тому інтервали дискретизації вибирають виходячи з того, щоб на основі наявних відліків s(t_і) можна відтворити з заданою точністю первинну функцію s(t).

Дискретизація сигналів може бути рівномірною або нерівномірною. У разі рівномірної дискретизації інтервал дискретизації є незмінний і його вибирають на основі попередніх (апріорних) відомостей про найвищу частоту спектра сигналу.

П ри нерівномірній дискретизації інтервал між відліками звичайно вибирають з урахуван-ням поточної зміни характеристик сигналу, нап-риклад, при швидких змінах сигналу інтервал дискретизації зменшується і навпаки. Таку дис-кретизацію називають адаптивною. Адаптивна дискретизація є більш економна порівняно з рівномірною дискретизацією, бо дає змогу сут-тєво скоротити кількість надлишкових відліків, однак її реалізувати важче, ніж рівномірну.

Скорочення інтервалів між відліками порів-няно до величини допустиме, але невигідне, бо доводиться передавати більшу кількість відліків і тим самим збільшувати час передачі тієї ж кількості інформації. З іншого боку збільшення інтервалу понад величину недопустиме, оскільки приводить до неможливості відновлення неперервного сигналу за заданими відліками без cпот-ворення. У справедливості цього твердження можемо переконатися, розглядаючи зв’язок між спектральними та часовими характеристиками дискретизованого сиг-налу для випадку рівномірної дискретизації, коли часовий інтервал t між відліками сигналу є незмінний.

Для цього запишемо ММ дискретизованого сигналу у вигляді:

і використовуючи пряме перетворення Фур’є та фільтруючі властивості -функції визначимо спектральну густину дискретизованого сигналу:

або: (4)

, (5)

де - частота дискретизації.

На рис. 4 видно, що модуль спектральної густини S_д() дискретизованого сигналу має вигляд модуля спектральної густини S() первинного сигналу і періо-дично повторюється з частотою дискретизації w_Д. При зміні інтервалу дискретизації t змінюється віддаль w_Д по осі частот між спектральними функціями: збільшення t призводить до густішого розміщення спектральних функцій і нав-паки.

Якщо інтервал дискретизації t вибрано так, що w_Д  2_max, то сусідні складові

спектра дискретизованого сигналу не перекриваються між собою по частоті (рис. 4,

б, в). У такому разі можна відтворити первинний сигнал s(t) із дискретизованого сигналу, виділивши наприклад перший пелюсток спектра за допомогою фільтра нижніх частот (ФНЧ). Якщо ж w_Д < 2_max, то, як видно з рисунка 4, г, сусідні складові спектра дискретизованого сигналу перекриваються між собою і відтво-рення первинного сигналу за допомогою ФНЧ неможливе.

Р

ис. 4. Амплітудний спектр аналогового сигналу –а), та структура амплітудно-го спектра дискретизованого сигналу при різних співвідношеннях між частотою дискретизації _Д і верхньою частотою спектра аналогового сигналу _max:

(б) - _Д =2_max; (в) - _Д > 2_max; (г) - _Д < 2_max.

Розглянемо випадок, коли тривалість сигналу s(t) скінчена і дорівнює Т, а смуга частот, як і раніше, дорівнює . Зауважимо, що ці умови є несумісними, бо функція скінченої тривалості теоретично має безмежно широкий спектр. Проте практично завжди можна вибрати найвищу частоту спектра сигналу так, щоб на "хвости" функції часу, зумовлені відкиданням частот, які перевищують , припадала незначна частина енергії, порівняно з енергією заданого сигналу s(t). За цих умов кількість відліків, за якими можна відновити сигнал тривалістю Т з сму-гою частот , дорівнює:

. (4)

При можна вважати . При цьому ряд (3)

прийме вигляд:

. (5)

Число N називають числом ступенів свободи ("базою") сигналу s(t), бо навіть при довільному виборі значень сума виду (5) визначає функцію, яка за-довольняє умови заданого спектра і заданої тривалості сигналу.

При додаванні членів ряду (5) сигнал відтворюється точно лише в точках відліку . У проміжках між відліками з’являється похибка апроксимації, яка збільшується біля країв інтервалу Т, де відкинуті члени ряду мають найбільше значення.

Оскільки коефіцієнтами ряду (3) є відліки сигналу , то в моменти часу , функції і ряд (3) точно визначає заданий сигнал s(t). В інші моменти часу [2], ряд (3) визначає сигнал s(t) як зважену суму відліків сигналу , причому в якості вагового коефіцієнта використовується функція в цей момент часу. Тому для відновлення сигналу s(t) за заданою послідовністю відліків кожний з імпульсів послідовності (рис. 3), повинен бути перетворений у функцію виду .

Як відомо з предмету “Основи теорії кіл” таке перетворення можна здійснити у лінійному колі, імпульсна характеристика h(t) (відгук на виході кола при подачі на його вхід безмежно короткого імпульса з одиничною площею (t)= ) має вигляд:

. (6)

Таку імпульсну характеристику має ідеальний фільтр нижніх частот (ФНЧ):

а) імпульсна характеристика ідеального ФНЧ має вигляд симетричної осцилю- ючої кривої, яка існує в моменти часу (рис. 5, а).

б) відстань на осі часу між головним максимумом і найближчими нулями h(t), а також відстань між окремими сусідніми нулями мають однакову величину (нулі еквідистантні).

При подачі на вхід такого ФНЧ послідовності імпульсів згідно з принципом суперпо-зиції, сигнал на виході фільтра описується формулою:

Рис. 5. Імпульсна –а) та частотні характеристики –б) ідеального ФНЧ.

. (7)

Вираз (7) збігається з виразом (3), який описує сигнал s(t) через його відліки. З цього випливає, що ідеальний ФНЧ дозволяє відновити первинний сигнал s(t) з обмеженим спектром за прийнятою послідовністю відліків . При цьому важливо, щоб частота зрізу ідеального фільтра дорівнювала верхній час-тоті спектра сигналу s(t).

Комплексний коефіцієнт передавання ФНЧ відповідає таким умовам:

(8)

. (9)

Амплітудно-частотна (АЧХ) і фазо-частотна (ФЧХ) характеристики ідеального ФНЧ зображені на рис. 5, б. Модуль комплексного коефіцієнта передавання (АЧХ) фільтра в смузі пропускання постійний і дорівнює , а ФЧХ є лінійною функцією частоти.

Зауважимо, що на практиці передачу неперервних сигналів здійснюють за допомогою коротких імпульсів. Прикладом цього є передача сигналів за допомо-гою амплітудно-імпульсної модуляції (АІМ).

У випадку передачі сигналів за допомогою АІМ замість неперервного сигналу передають послідовність імпульсів, висота яких пропорційна миттєвим значенням сигналу в моменти наявності імпульсів (рис. 6). При цьому паузи між імпульсами можна використати для передачі інших сигналів.

Отриманий в результаті АІМ результуючий дискретизований сигнал

(10)

можна подати в часовій області як добуток первинного аналогового сигналу s(t) на суму постійної складової та нескінченної кількості гармонік, амплітуди яких визна-

Р

ис. 6. Неперервний інформаційний сигнал – а), еквівалентна,

інформаційному змісту сукупність дискретних сигналів – б).

чаються відношенням , а частоти кратні частоті повторення дискретизуючих відеоімпульсів. Cпектральна функція результуючого дискретизо-ваного сигналу при цьому буде рівна:

, (11)

а коефіцієнти розкладу з урахуванням, що , визначаємо за форму-лою:

. (12)

На рис. 7 зображені модуль спектральної функції S(j) та модуль спектральної функції S_Д(j) дискретизованого сигналу. Із згаданого рисунку видно, що модуль спектральної функції S_Д(j) дискретизованого сигналу має вигляд модуля спектральної функції S(j) первинного сигналу, і повторюється з частотою дискретизації _Д, а його обгинаюча по формі повторює обгинаючу амплітудного спектру дискретизуючого відеоімпульсного сигналу.

В приймальному пристрої такий імпульсний сигнал подають на демодулятор сигналу з АІМ, з допомогою якого відновляють початковий сигнал s(t). При цьому, незважаючи на те, що на вхід ідеального ФНЧ замість безмежно вузької  - функції подається короткий імпульс тієї ж площі, але обмеженої тривалості , то форма відгуку практично не відрізняється від зображеної на рис. 5, а. Якщо ж площа вхідного імпульсу буде більшою або меншою, то пропор-ційно зміняться і екстремальні значення відгуку.

Відзначимо, що дискретизація неперервного сигналу має одночасно позитивні та негативні сторони. Позитивним є те, що у проміжках між відліками одного сигналу в лінії зв'язку можна передавати відліки інших сигналів (рис. 8) і таким чином проводити часове ущільнення каналів зв'язку. Кількість сигналів r, які можуть одночасно передаватись по каналу зв'язку пов'язана із співвідношенням і з ростом збільшується ( ). Проте з іншого боку із (11) випливає, що із ростом співвідношення амплітуда відновленого сигналу зменшується, а ширина спектру дискретизованого сигналу зростає. Тому передачу сигналів

Рис. 7. Формування спектра дискретизованого сигналу (в) на

основі спектрів первинного (а) та дискретизуючого (б) сигналів.

Рис. 8. Часове ущільнення каналу зв’язку.

по багатоканальному каналу зв'язку з часовим ущільненням потрібно здійснювати в широкосмугових лініях передачі.

Завершуючи розгляд питання дискретизації неперервного сигналу відзначимо, що в практиці часто використовують адаптивну дискретизацію, в якій момент дискретизації вибирають виходячи із умови забезпечення допустимої похибки між неперервним сигналом і апроксимуючою його функцією. Остання не обов'язково є функцією відліків, а може бути лінійно-ломаною, степеневою та ін.

Крім того зауважимо, що при дискретизації коливань з амплітудною модуля-

цією інтервал дискретизації вибирають виходячи з верхньої частоти спектру моду-

люючого коливання, а не з верхньої частоти спектру модульованого коливання, яка є значно вищою.

3. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Які переваги забезпечує перетворення аналогових сигналів у дискретні?

2. Дайте означення процесів дискретизації та квантування аналогових сигналів.

3. Дайте визначення інтервалу дискретизації та вкажіть якісно його вплив на характеристики процесу передавання інформації.

4. Дайте означення сигналу з обмеженим спектром.

5. Опишіть методику спектрального подання дискретизованих сигналів.

6. Як впливає інтервал дискретизації на структуру спектра дискретизованого сигналу?

7. Як впливає тривалість дискретизуючих імпульсів на структуру спектра диск-ретизованого сигналу?

8. Як треба вибирати інтервал дискретизації, щоб забезпечити можливість відтворення аналогового сигналу з дискретизованого?

9. Сформулюйте теорему Котєльнікова та запишіть ряд Котєльнікова.

10. Як можна відновити сигнал з обмеженим спектром за відомими його миттєвими значеннями, взятих через рівні проміжки часу?

11. Яким вимогам повинна задовольняти частотна характеристика ідеального відновлюючого пристрою?

12. Яким вимогам повинна задовольняти імпульсна характеристика ідеального відновлюючого пристрою?

4. РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ

Для заданих викладачем у лабораторній роботі №1 сигналів розрахувати ін-тервал дискретизації t та нарисувати графіки неперервного і дискретизованого сигналів. Подати математичну модель сигналів у вигляді ряду Котєльникова та вказати вимоги до характеристик відновлюючого пристрою.