12.21. В параллелограмме обозначены , ( – точка пересечения диагоналей). Выразить через векторы , , ( , – середины сторон , ).

12.22. В треугольнике обозначены , . Выразить через следующие векторы: ; ( – медиана треугольника ); ( – середина медианы ); ; .

12.23. В параллелограмме обозначены , . Выразить через векторы: , ( , – середины сторон , ; – точка пересечения диагоналей).

12.24. В пирамиде обозначены , , . Выразить через следующие векторы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ( – середина стороны ). Сделать рисунок к задаче.

12.25. В правильном шестиугольнике ABCDEF обозначены векторы , . Выразить через векторы , , , . Сделать схематический чертеж к задаче.

12.26. В треугольнике обозначены векторы , . Выразить через векторы: , ( , , – середины сторон , , соответственно).

12.27. В треугольнике проведены медианы , , . Обозначены векторы . Выразить через векторы , , , , , , , , ( – точка пересечения медиан треугольника).

12.28. В треугольнике обозначены векторы , . Выразить через векторы: , ( , , – середины сторон , , соответственно).

12.29. В пирамиде (основание прямоугольник) обозначены , , . Выразить через следующие векторы: ; ; ; ; ( – точка пересечения диагоналей ).

12.30. Пусть – произвольный четырехугольник. В нем обозначены , , . Найти векторы , где , , – середины , , соответственно.

Задание 13. Операции над векторами в бескоординатной форме (скалярное, векторное, смешанное произведения векторов)

Даны некомпланарные векторы , причем ,

угол , , . – пирамида. Найти:

1) длины сторон треугольника ;

2) угол (косинус) при вершине ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах ;

4) объем пирамиды ;

5) длины векторов ;

6) угол между диагоналями параллелограмма, построенного на .

	Векторы		Векторы
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26
27		28
29		30

Задание 14. Операции над векторами в координатной форме (скалярное, векторное, смешанное произведения векторов)

14.1. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) смешанное произведение векторов , , ; 4) вектор .

14.2. Заданы вершины четырехугольника : , , , . Выяснить, перпендикулярны ли его диагонали. Найти величину угла , длины сторон четырехугольника, его площадь. Вычислить смешанное произведение векторов .

14.3. Найти координаты вектора , параллельного вектору при условии, что . Найти при этом условии координаты вектора .

14.4. Проверить, являются ли точки , , , вершинами трапеции или параллелограмма. Найти площадь и длины оснований сторон четырехугольника.

14.5. Пусть , , . Найти: 1) скалярное произведение ; 2) ; 3) смешанное произведение .

14.6. Пусть , , . Вычислить: 1) двумя

способами ; 2) вектор ; 3) объем

параллелепипеда, построенного на векторах .

14.7. Заданы векторы , , . Найти: 1) величину проекции вектора на ось, параллельную вектору ; 2) координаты вектора и его длину; 3) смешанное произведение векторов ; 4) площадь треугольника, построенного на векторах , .

14.8. Треугольник задан координатами своих вершин , , . Найти: 1) площадь треугольника; 2) длины всех сторон, длину одной из медиан треугольника; 3) смешанное произведение векторов .

14.9. Заданы векторы , , . Найти: 1) величину проекции вектора на вектор ; 2) координаты вектора , его длину; 3) смешанное произведение векторов ;

4) площадь треугольника, построенного на векторах , ; 5) скалярное произведение векторов , ; 5) проверить на коллинеарность и ортогональность векторы и .

14.10. Даны векторы , , . Найти: 1) координаты вектора ; 2) проекцию вектора на вектор ; 3) вектор ; 4) смешанное произведение векторов , , ; 5) проверить, ортогональны ли векторы и .

14.11. Даны четыре точки , , , . 1. Выяснить, лежат ли они в одной плоскости. 2. Найти площадь треугольника . 3. Найти длины сторон и величины внутренних углов треугольника .

14.12. Заданы векторы , . Найти: 1) координаты вектора , коллинеарного вектору , удовлетворяющего условию ; 2) вектор ; 3) объем параллелепипеда, построенного на векторах .

14.13. Даны векторы , , . 1. Выяснить, компланарны ли эти векторы. 2. Найти вектор . 3. Найти смешанное произведение .

14.14. Даны векторы , , . 1. Найти вектор . 2. Установить, какова тройка векторов – правая или левая. 3. Найти скалярное произведение . 4. Найти угол между векторами , .

14.15. Даны четыре точки , , , . Найти: 1) косинус угла между векторами , и их длины; 2) скалярное произведение ; 3) вектор ; 4) смешанное произведение векторов .

14.16. Дан параллелограмм ABCD ( , , ). Найти: 1) координаты вершины ; 2) площадь параллелограмма; 3) длины сторон, диагоналей параллелограмма и угол между диагоналями.

14.17. При каком значении параметра векторы , перпендикулярны? Найти при этом значении параметра длину вектора .

14.18. Даны векторы , , . Найти: 1) угол между векторами , и их длины; 2) вектор ; 3) смешанное произведение векторов , , .

14.19. Даны точки: , , , . 1. Показать, что эти четыре точки лежат в одной плоскости. 2. Найти площадь четырехугольника , длины его сторон и величины углов.

14.20. Даны векторы , , . Найти: 1) число ; 2) вектор , его длину; 3) смешанное произведение векторов , , ; 4) координаты вектора , удовлетворяющего условию .

14.21. Даны точки , , , . 1. Найти скалярное произведение векторов и . 2. Площадь треугольника . 3. Проверить, лежат ли данные четыре точки в одной плоскости. 4. Вычислить угол между векторами .

14.22. Даны векторы , , . Найти:

1) число ; 2) вектор и его длину;

3) смешанное произведение векторов , , .

14.23. Найти: 1) координаты вектора , коллинеарного вектору при условии, что ; 2) координаты вектора ; 3) смешанное произведение векторов , , .

14.24. Даны четыре точки , , , .

1. Выяснить, лежат ли они в одной плоскости. 2. Найти площадь треугольника . 3. Найти длины сторон и величины внутренних углов треугольника.

14.25. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) смешанное произведение исходных векторов; 4) вектор .

14.26. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) смешанное произведение исходных векторов; 4) вектор .

14.27. Даны векторы , , . Найти:

1) координаты вектора , его длину; 2) проекцию на ; 3) векторное произведение ; 4) смешанное произведение исходных векторов , , . Проверить, ортогональны ли векторы , .

14.28. Даны векторы , , . 1. Найти вектор . 2. Установить, тройка векторов – правая или левая. 3. Найти число . 4. Угол между векторами .

14.29. Даны точки , , , .

1. Проверить, лежат ли данные точки в одной плоскости. 2. Найти площадь треугольника . 3. Найти угол между векторами .

14.30. Даны векторы , , . Найти: 1) число ; 2) вектор , его длину; 3) смешанное произведение векторов , , .

Задание 15. Решить задачу с использованием СЛАУ.

15.1. Найти координаты вектора , если он перпендикулярен к вектору , удовлетворяет условиям , .

15.2. Вектор перпендикулярен к векторам , , а также известно, что . Найти координаты вектора .

15.3. Выяснить, образует ли базис система векторов : , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе .

15.4. Выяснить, образует ли базис система векторов : , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

15.5. Даны векторы , , . Найти вектор , удовлетворяющий условиям: , , .

15.6. Найти вектор , который удовлетворяет условиям , , , где , , .

15.7. Даны векторы , , . Найти координаты вектора , для которого , , .

15.8. Выяснить, образует ли базис система векторов , где , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

15.9. Представить вектор как линейную комбинацию векторов .

15.10. Вектор , перпендикулярный к векторам , , образует с осью тупой угол. Зная, что длина вектора равна 26, найти его координаты. Сделать схематический рисунок.

15.11. Найти вектор , который удовлетворяет условиям , , , где , , .

15.12. Проверить, пересекаются ли три плоскости в одной точке. Если пересекаются, то найти координаты этой точки:

.

15.13. Найти координаты вектора , удовлетворяющего условиям , , .

15.14. Найти координаты вектора , удовлетворяющего условиям , , .

15.15. Найти координаты вектора , удовлетворяющего условиям , , .

15.16. Показать, что три плоскости пересекаются в одной-единственной точке и найти координаты этой точки: , , .

15.17. Выяснить, образует ли базис система векторов : , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

15.18. Найти вектор , коллинеарный вектору , для которого .

15.19. Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , , где , , .

15.20. Найти вектор , который удовлетворяет условиям , , , где , , .

15.21. Найти вектор , если он перпендикулярен к вектору , удовлетворяет условиям , .

15.22. Вектор перпендикулярен к векторам , , а также известно, что . Найти координаты вектора .

15.23. Выяснить, образует ли базис система векторов , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

15.24. Выяснить, образует ли базис система векторов , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

15.25. Даны векторы , , . Найти вектор , удовлетворяющий условиям: , , .

15.26. Найти вектор , который удовлетворяет условиям , , , где , , .

15.27. Даны векторы , , . Найти координаты вектора , для которого , , .

15.28. Выяснить, образует ли базис система векторов , где , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

15.29. Представить, если возможно, вектор как линейную комбинацию векторов .

15.30. Представить, если возможно, вектор как линейную комбинацию векторов .

Задание 16. Выяснить, является линейно зависимой или линейно независимой система векторов . Найти ранг и базис данной системы векторов. Выразить оставшиеся векторы системы через этот базис.

1. , , , ;

2. ;

3. (4, 3, –1, 1), (2, 1, –3, 2), (1, –3, 0, 1), (1, 5, 2, –2);

4. (2, 1, -2, -1), (-9, 5, -6, 21), (2, -5, -1, 3), (-1, -1, 1, 5);

5. (1, 1, 1, 1), (2, 0, 1, –1), (3, –4, 0, –1), (15, –10, 3, –2);

6. (–1, 0, 2, 4), (2, 3, –1, 2), (0, 3, 3, 10), (7, 9, –5, 2);

7. (1, –1, 2, –1), (2, 3, –1, 2), (4, 1, 3, 1), (–1, –9, 8, –7);

8. (1, 1, –4, –1), (1, 2, –1, 4), (0, 1, 3, 5), (3, 8, 3, 22);

9. (1, 2, –2, 1), (–3, 1, 2, –3), (0, 7, –4, 0), (0, 1, 2, 3);

10. (2, 3, 0, –2), (1, 4, 2, 10), (0, 1, –3, 2), (3, 5, 8, 4);

11. (2, –1, 3, 5), (4, –3, 1, 3), (4, –1, 15, 17), (7, –6, –7, 0);

12. (2, 4, 11, 15), (–10,–11,–1, 4), (12, 15, 12, 9), (1, 2, 3, 0);

13. (1, 2, 3, –4), (2, 3, –4, 1), (3, –4, 1, 2), (5, 26, –9, –12);

14. (0, 2, –3, 4), (1, 3, 0, 5), (1, 9, 6, 6), (2, 4, 0, 1);

15. (2, –3, 4, –5), (1, –2, 7, –8), (3, –4, 1, –2), (4, –5, 6, –7);

16. (3, 2, 1, –4), (5, 10, 2, 0), (21, 34, 8, –8), (2, 8, 1, 4);

17. (2, –1, 3. 5), (4, –3, 1, 3), (3, –2, 3, 4), (4, –1, 15, 17);

18. (3, 6, 18, 0), (1, 2, –4, 3), (0, 2, 1, 2), (2, 2, 1, 1);

19. (2, 3, –4, –1), (1, –2, 1, 3), (5, –3, –1, 8), (3, 8, –9, –5);

20. (19,–12, 5, –17), (4, –2, 0, 8), (2, –1, 0, 4), (3, –2, 1, –5);

21. (3, 2, –5, 4), (3, –1, 3, –3), (3, 5, –15, 11), (12, –1, 4, –5);

22. , (2, –4, 3, 5), (–5,11,–6, –20), (1, –1, 3, –5);

23. (2, 3, 5, 1), (1, –1, 2, 5), (3, 7, 8, –3), (1, –1, 1, 3);

24. (2, –1, 3, –1), (1, 2, –3, 2), (5, –5, 12, –5), (1, –3, 6, –3);

25. (4, 3, –1, 1), (2, 1, –3, 2), (1, –3, 0, 1), (1, 5, 2, –2);

26. (1, 2, –1, –2), (2, 3, 0, –1), (1, 2, 1, 3), (1, 3, –1, 0);

27. (1, 1, 1, 1), (–1, –1, –1, 1), (1, 2, 3, –4), (2, 3, 4, 1);

28. (3, –4, 1, 2), (1, –1, –1, –1), (4, –3, 1, 2), (1, –6, 1, 2);

29. (1, –1, 2, –1), (2, 3, –1, 2), (4, 1, 3, 1), (–1, –9, 8, –7);

30. (5, 2, –3, 1), (4, 1, –2, 3), (1, 1, –1, –2), (3, 4, –1, 2).