Тема 2. Элементы векторной алгебры Теоретические вопросы

1. Понятие геометрического вектора, его характеристики. Виды векторов. Линейные операции над векторами в геометрической форме, их свойства.

2. Проекция вектора на вектор (на ось), ее свойства. Направляющие косинусы вектора.

3. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Основные критерии (свойства) линейной зависимости, независимости системы векторов.

4. Системы координат (на плоскости, в пространстве). Координаты вектора. Операции над векторами в координатной форме.

5. Понятие векторного (линейного) пространства, базиса векторного пространства. Разложение вектора по базису. Понятие n-мерного векторного пространства.

6. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатной форме.

7. Векторное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатной форме.

8. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатной форме.

Расчетные задания

Задание 12. Операции над векторами в геометрической форме

Варианты 1–10. Дан параллелепипед ( – параллелограмм). В нем обозначены , , , , – точка пересечения диагоналей , соответственно, – середины сторон , , , соответственно, – точка, такая, что . Выразить через следующие векторы.

12.1. .

12.2. .

12.3. .

12.4. .

12.5. .

12.6. .

12.7. .

12.8. .

12.9. .

12.10. .

12.11. В параллелограмме обозначены , ( – точка пересечения диагоналей). Выразить через векторы: , ( , – середины сторон , соответственно).

12.12. В трапеции обозначены , , . Выразить через векторы ( – средняя линия трапеции, параллельная основанию , – середина основания ).

12.13. В параллелограмме обозначены , ( – точка пересечения диагоналей). Выразить через : , , ( , – середины сторон , соответственно).

12.14. В треугольнике проведены медианы (векторы) , , . Доказать, что .

12.15. В параллелограмме ABCD обозначены , . Выразить через : 1) векторы где – точка пересечения диагоналей параллелограмма; 2) вектор ( – середина стороны ). Сделать схематический чертеж к задаче.

12.16. ABCDEF – правильный шестиугольник, обозначены , . Выразить через следующие векторы: , . Сделать схематический чертеж к задаче.

12.17. Дана равнобокая трапеция ( ). В ней обозначены , , . Известно, что , , угол при вершине А равен . Найти: 1) длину вектора (указание: выразить вектор через и найти ); 2) длины диагоналей трапеции.

12.18. В параллелограмме обозначены , ( – точка пересечения диагоналей). Выразить через векторы , , ( , – середины сторон , ).

12.19. В треугольнике проведены медианы , , . Обозначены векторы . Выразить через векторы , , , , , .

12.20. Пусть ABCDEF – правильный шестиугольник, причем , . Выразить через векторы , .