Следует заметить, что при переходе от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной возможно неправильное определение фазы ϕ . Это возможно

в тех случаях, когда действительная часть комплексного числа отрицательна. Из-

бежать ошибки поможет изображение комплексного числа в алгебраической форме на плоскости.

Примеры расчета электрических цепей синусоидального тока

ПРИМЕР 1. Рассчитать комплексные входные сопротивление и проводимость це- пи, определить их характер, изобразить последовательную и параллельную схемы замещения цепи. Ток и напряжение на входе цепи:

i = 7,07 ×10−3 × sin(103 t + 60o) A, u =14,14×sin(103 t + 90o) B.

РЕШЕНИЕ. Для определения комплексного входного сопротивления Z = ze jϕ не- обходимо вычислить его модуль Z и сдвиг фаз ϕ :

Z = zejϕ = 2×103 ×ej30o Ом.

Проводимость – величина обратная сопротивлению: Y = Z1 = 0,5 ×10−3 × e− j30o .

Определяя алгебраическую форму записи z и Y , находим активные и реактивные сопротивления и проводимости.

Z = 2 ×103 ×ej30o =1,73×103 + j1×103 Ом,

Y = 0,5×10−3 ×e− j30o = 0,43×10−3 - j0,25×10−3 Cм .

Следовательно:

R =1,73×103 Ом, X =1×103 Ом, g = 0,43×10−3 Cм, b = 0,25×10−3Cм.

Знак «+» перед мнимой частью Z говорит об активно-индуктивном характере на- грузки.

Последовательная и параллельная схемы замещения представлены соответственно на рис. 2.1, a и б.

27

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ПРИМЕР 2. Определить токи в схеме (рис. 2.2, а, б), при:

U = 25 B; R = 5 Ом; XC = 5 Ом; XL = 2,5 Ом.

Составить баланс мощностей, построить топографическую диаграмму напряжений.

а

б

Рис. 2.2

РЕШЕНИЕ. Используем метод эквивалентных преобразований. Заменяем парал- лельные ветви одной эквивалентной ветвью с сопротивлением ZAB :

Участки ca и cb соединены последовательно, поэтому входное полученное сопро-

тивление цепи равно

ZВХ = ZCA + ZAB = 2,5j + 2,5 − 2,5j = 2,5 Ом.

Поскольку входное сопротивление является активным, в цепи установился резо- нанс напряжений.

Находим токи:

U& ab = U& − U& ca = 25 − 25j = 35,36e− j45o B; &I3 = U& /Zbx = 25/2,5 =10 A,

28

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

U& ca = jXL&I3 = 25j = 25e j90o B, &I1 = U& ab/R = 5 - 5j = 7,071e− j45o A,

&I2 = U& ab /(-jXC ) = 5 + 5j = 7,071e j45o A.

Составим баланс мощностей. Активная мощность источника

PИСТ = U × I3 × cos(UI3 ) = 250 Вт.

Реактивная мощность источника

PПР = I12 × R = 250 Вт.

Реактивная мощность приёмников

QПР = -I22 × XC + I32XL = 0.

Баланс мощностей выполняется PИСТ = РПР , QИСТ = QПР, значит, токи найдены пра- вильно. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений приведены на рис. 2.2, б. Масштабы: MI = 3,5A/Cм , M U = 7 B/Cм .

ПРИМЕР 3. Для схемы (рис. 2.3) определить комплексы действующих значений токов в ветвях и напряжений на ее элементах. Составить баланс мощностей. По- строить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.

Параметры элементов цепи: E& = 2B, J& = 4мА,

R1 =1кОм,

R 2 = 3кОм,

L = 2 мГн,

C = 3 нФ, v =106 c−1 .

Рис. 2.3

РЕШЕНИЕ. Определим сопротивления индуктивности и емкости:

XL = ωL = 106 × 2×10−3 = 2 кОм,

XC =1/ω =1/(106 ×3×10−9 ) = 0,33 кОм.

Для нахождения токов и напряжений выберем метод контурных токов:

&I11(R1 + R 2 + jXL - jXC ) + &I22 (R 2 - jXC ) = E&,

29

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

где

&I22 = J& = 4e j0o = 4мА.

Вычислим контурный ток &I11:

&I11(1+ 3 + j2-j0,33) + 4 ×(3 - j0,33) = 2.

Откуда

&I11 = 2,28e j150,4o мА.

Токи ветвей:

&I1 = &I11 = 2,28e j150,4o мА,

&I2 = -&I11 - &I22 = 2,3e j209,2o мА.

Напряжения на элементах цепи:

U& L = &I1jXL = 2,28ej150,4o × 2ej90o = 4,56ej240,4o B, U& R1 = &I1R1 = 2,28ej150,4o B,

U& R2 = &I2R2 = 6,9ej209,4o B,

U& C = &I2 ( - jXC) = 2,3ej209,2o ×0,33e-j90o0,76ej119,2o B,

U& J = -&I2 (R 2 - jXL ) = 6,94e j23,63o B.

Баланс мощностей

Баланс мощностей выполняется.

Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений представле- на на рис. 2.4. Масштабы по току и напряжению:

MI =1мА/См; M U = 1,5B/Cм .

30

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рис. 2.4

ПРИМЕР 4. На рис. 2.5 приведена схема электрической цепи с двумя источниками синусоидально изменяющихся ЭДС e1 = e2 =141sin(ω ×t) В .

Действующие значения:

X1 = 5 Ом; X2 = 20 Ом; R = 3Ом.

Определить действующие значения токов ветвей методом узловых напряжений. Записать уравнения мгновенных значений токов ветвей.

Применяя закон Ома, находим комплексы действующих значений токов ветвей:

31

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

i1 =162sin(ω × t -53,13o ) A, i2 = 42sin(ω ×t -53,13o ) A.

ПРИМЕР 5. Параметры цепи (рис. 2.6):

C =159мкФ; L = 31,8мГн; R1 = 10 Ом,

×

R 2 =10Ом; EM =100В; f = 50Гц.

Графоаналитическим методом рассчитаем то- ки и напряжения на участках цепи. Графоаналитический метод – совокупность графического метода и метода пропорцио- нального пересчета. Метод основан на том,

что в линейной цепи токи пропорциональны напряжениям. Векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и постро- енная для одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжений и токов.

РЕШЕНИЕ. Построение начинаем с наиболее удаленной точки цепи, соответст- вующей отрицательной полярности источника ЭДС.

XC = 2π ×1f ×C = 6,28×50×1159×10−6 = 20 Ом,

XL = 2π ×f × L = 6,28×50×31,8×10−3 =10 Ом.

Принимаем масштабы:

MI = 0,2A/Cм ; M U = 5 B/Cм .

Задаемся действующим значением тока I'2 =1A (рис. 2.7). Вектор I'2 откладывает- ся в заданном масштабе в горизонтальном направлении:

U'cd = I′2R2 =10 B .

Вектор напряжения U& ′cd на участке с активным сопротивлением R2 совпадает по

.

фазе с вектором тока I′2 . Действующее значение тока I3' находим по закону Ома:

I3' = Ucd = 10 = 1A .

XL 10

Ток на индуктивности отстает от напряжения на угол 900. Вектор тока I3' строим из

.

конца вектора I′2 .

По первому закону Кирхгофа в комплексной форме определяем &I1′ = &I1′ + &I1′ , что со- ответствует сложению векторов на комплексной плоскости.

32

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Ток I1' =1,4 A (определен в масштабе диаграммы). Определяем и строим на диа- грамме напряжения на участках b-с, а-b.

U'bс = I1′; XC = 28 B.

Вектор напряжения U& ′bc отстает от тока &I1′ на 900, строим этот вектор из точки c под углом 900 к току &I1′ в сторону отставания.

U'ab = I1' R1 =14 B.

Напряжение U& ′ab совпадает по фазе с током &I1′ , вектор U& ′ab строим из точки b па- раллельно вектору тока &I1′ .

Теперь соединим начало координат (точку d) с точкой а, получим вектор прило- женной к цепи ЭДС, равный 30 В (в масштабе диаграммы): E'm = 302B.

Истинные значения токов и напряжений на участках цепи, обусловленных действи- ем указанной в условии задачи ЭДС = 100 В, определим умножением величин на коэффициент пересчета:

Входная ЭДС имеет начальную фазу 00. С учетом этого построим систему коорди- нат, вещественная ось которой должна совпадать с вектором da. Относительно этой оси определим начальные фазы всех токов и напряжений.

Комплексы действующих значений искомых токов и напряжений следующие:

&I2 = &I′2K = 2,35e j90o А, &I′3 = &I′3K = 2,35 А, &I1 = &I1′K = 3,29e j45o А,

U& cd = U& ′cd K = 23,5e j90o В,

U& bc = U& ′bcK = 65,8e− j45o В, U& ab = U& ′abK = 32,9e j45o В.

Построенная в такой последовательности диаграмма напряжений является топо- графической.

33

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com