Определим напряжение Uod :
Uod = I1R0 - E0 = 2 ×10 - 20 = 0 B.
Напряжение Ude на схеме (рис. 1.13) позволяет определить ток I5 = 0 A и ток I6 :
I6 (R 24 + R 6 ) − E6 = Ude = 0,
I6 = E6/(R 26 + R6 ) = 40/(10 + 10) = 2 A.
На этой же схеме определим напряжения Uac , Uab и Ucb :
Uac = I1R 23 + I5R34 = 2 ×10 - 0 = 20 B,
Uab = I1R 23 + I6R24 = 2 ×10 + 2 ×10 = 40 B, Ucb = I6R24 - I5R34 = 20 B.
Для исходной схемы (см. рис. 1.12) определим токи:
I2 = Uab/R 2 = 1,33 A,
I3 = Uac/R3 = 0,667 A,
I4 = Ucb /R 4 = 0,667 A.
На основании первого закона Кирхгофа для узла c:
I5 = I3 - I4 = 0;
для узла b:
I6 = I4 + I2 = 0,667 +1,33 = 2 A .
Правильность решения проверим, составив баланс мощностей для исходной схемы:
E1I1 + I6E6 = I12R1 + I22R 2 + I32R3 + I34R 4 + I52R5 + I26R6 ,
40 × 2 + 40 × 2 = 4 ×10 + (1,33)2 × 30 + (0,667)2 × 30 + 4 ×10 + 0 ×10,
160= 160 .
6.Метод эквивалентного генератора напряжения (тока)
Метод позволяет сложную электрическую схему с произвольным числом источни- ков электрической энергии привести к схеме с одним источником, что упрощает расчет.
Существует два варианта метода: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.
13
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6.1. Метод эквивалентного генератора напряжения (МЭГН)
Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы (рис. 1.15, а) данным методом, необходимо:
а) электрическую цепь, к которой подключена дан- ная ветвь, заменить экви-
валентным источником напряжения, величина ко- торого определяется на- пряжением на выходах ра- зомкнутой ветви аb, а
внутреннее сопротивление источника равняется вход- ному сопротивлению пас- сивной электрической це-
пи со стороны выводов а и b при разомкнутой ветви аb. Напряжение на зажимах аb определяется любым ранее изученным методом (рис. 1.15, б), т.к. для определения напряжения R H исключается, то напряжение эквивалентного генератора называют
напряжением холостого хода и обозначают Uabxx .
При определении внутреннего сопротивления источника напряжения (рис. 1.15, в) необходимо ветви, содержащие источники тока, разорвать, т.е. исключить все эле- менты, находящиеся в таких ветвях, а источники напряжения закоротить, т.е. на ме- сто источников напряжения включить перемычки; б) определить искомый ток по формуле
IH = Uabxx/(RГ + RH ).
ПРИМЕР 6. Определить ток в ветви с R4 (рис. 1.16) МЭГН, если
R1 = R2 = R3 = R4 =100 Ом,
R5 = R6 = 50 Ом,
E1 =100 B,
J06 = 2 A.
Рис. 1.16 Рис. 1.17 Рис. 1.18
РЕШЕНИЕ: а) определим ЭДС эквивалентного генератора напряжения, равную
14
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Uabxx (рис. 1.17).
Исходная схема распалась на две одноконтурные схемы, токи которых равны:
I1 |
= |
|
E1 |
= |
|
100 |
= 0,5 A; |
|
R1 |
+ R2 |
100 +100 |
||||||
|
|
|
|
|||||
I6 = J06. |
|
|
|
|
||||
Ток в сопротивлении R3 равен нулю. Определим напряжение Uabxx :
Uabxx = I1R2 + I3R3 + I6R5 = 0,5 ×100 + 0 ×100 + 2 × 50 =150 B.
Для определения R Г источник ЭДС E1 заменим его внутренним сопротивлением (т.к. R1ВН = 0 , то на месте E1 включим перемычку), ветвь с источником J06 разо-
рвём (рис. 1.18):
R Г = R5 + R3 + |
R1R 2 |
= 50 + 100 + |
|
100 ×100 |
= 200 Ом; |
|
R1 + R 2 |
100 + 100 |
|||||
|
|
|
||||
б) определим ток I4 :
I4 = Uabxx/(RГ + R4 ) = 150/(200 +100) = 0,5 A.
6.2. Метод эквивалентного генератора тока (МЭГТ)
Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы МЭГТ (рис. 1.19, а), необходимо:
а) электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалент- ным источником тока; ток эквивалентного источника должен быть равен току, про- ходящему между выводами m и n (рис. 1.19, б), замкнутыми накоротко, а внутрен- няя проводимость источника УГ должна равняться входной проводимости пассив-
ной электрической цепи (рис. 1.15, в) со стороны выводов m и n;
Рис. 1.19
15
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
б) определить искомый ток в ветви по формуле
IH = RГImnkз/(RГ + RH ) = YHImn /(YH + YГ ),
где
YH =1/R H .
ПРИМЕР 7. Определить ток в ветви с R3 МЭГТ (рис. 1.20), если:E1 =10B ;
R1 = R3 =10 Ом; J02 =1 A.
Рис. 1.20 |
|
Рис. 1.21 |
|
Рис. 1.22 |
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ. а) определим ток короткого замыкания в ветви при условии замены со- противления R3 перемычкой (рис. 1.21). Используя метод наложения, определим ток Inmkз . При воздействии только источника напряжения E1
I'mnкn = E1/R1 =1A,
при воздействии только источника тока J02 : I'mnk3' = J02 =1A.
Сумма частичных токов I'mnk3 и I'mnk3' даст общий ток Imnk3 = I'mnk3 + I'mnk3' = 2 A. Для того чтобы определить R Г , исключим из схемы источник напряжения E1 и
источник тока J02 (рис. 1.22).
R Г = R1 =10 Ом; ϕГ = 0,1Ом ;
б) определим ток I3 :
I3 = Ik3RГ/(RГ + RH ) = 2 ×10/(10 +10) = 1 A,
или
I3 = Ik3YH /(YH + YГ ) = 2 × 0,1/(0,1+ 0,1) = 1 A.
УКАЗАНИЯ К РАСШИФРОВКЕ ЗАДАНИЯ К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ №1
Контрольная работа подготовлена с помощью ЭВМ для каждого студента индиви- дуально. Расшифровка исходных данных для построения исходной схемы пояснена на следующем примере.
16
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Исходные данные варианта:
Номер ветви |
Начало–конец |
Сопротивление, |
Источники |
Источники |
|
|
Ом |
ЭДС, В |
тока, А |
1 |
34 |
160 |
0 |
0 |
2 |
45 |
620 |
500 |
3 |
3 |
52 |
250 |
0 |
0 |
4 |
26 |
540 |
0 |
4 |
5 |
61 |
430 |
0 |
0 |
6 |
13 |
340 |
0 |
0 |
7 |
53 |
450 |
0 |
0 |
8 |
46 |
520 |
200 |
0 |
1. Расположить шесть узлов цепи в указанном порядке и в соответствии с вариан- том задания соединить их ветвями (рис. 1.23).
Рис. 1.23 |
|
Рис. 1.24 |
2.Перерисовать полученный граф схемы, изменив расположение узлов таким спо- собом, чтобы ветви не пересекались (рис. 1.24).
3.Включить в ветви сопротивления и заданные ЭДС. Источники тока подключить параллельно соответствующим ветвям (рис. 1.25).
4.Придать элементам схемы удобное расположение. Обозначить положительные направления источников ЭДС, источников тока и токов ветвей. Положительные направления определяются индексами начального и конечного узлов, к которым присоединена ветвь. Всем сопротивлениям, источникам и токам ветвей присвоить номера соответствующих ветвей (рис. 1.26).
17
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Рис. 1.25 |
|
Рис. 1.26 |
Расчет схем заключается в определении токов во всех ветвях схемы, определении напряжения между узлами, указанными в задании, составлении баланса мощностей в цепи, определении тока в заданном сопротивлении методом эквивалентного гене- ратора.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА №1
1.Расчет токов методом преобразования
На схеме рис. 1.26 преобразуем ис- точник тока J04 в источник напря-
жения E04 .
|
E04 = J04 × R 4 = 540 × 4 = 2160 B, |
|
|
источник тока J02 – в источник на- |
|
|
пряжения E02 : |
|
|
E02 = J02 × R2 = 620 × 3 =1860 B, |
|
|
а также объединим последовательно |
|
Рис. 1.27 |
||
включенные сопротивления R5 , R6 |
||
|
||
|
и R 4 , R3 : |
|
|
R56 = R5 + R6 = 770 Ом, |
|
|
R 43 = R 4 + R3 = 790 Ом. |
Полученная схема показана на рис. 1.27. На этой схеме объединим источники на- пряжения E2 и E02 :
E'2 = E2 + E02 =1860 + 500 = 2360 B.
Чтобы сделать треугольник 6-3-5 пассивным, преобразуем источник напряжения E04 в источник тока J43 :
J43 = |
E04 |
= |
2160 |
= 2,743A. |
|
R 43 |
790 |
|
|||
|
|
|
|
||
18
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Пассивный треугольник 6-3-5 преобразуем в пассивную звезду (рис. 1.28),
где
R437 |
= |
|
|
|
R43R7 |
|
=176,86 Ом, |
||
|
R43 |
+ R7 + R56 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
R4356 |
= |
|
|
R43R56 |
|
|
= 302,64 Ом, |
||
|
R43 |
+ R7 + R56 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
R 567 = |
|
|
|
R 56 R 7 |
|
=172,39 Ом. |
|||
R 43 |
+ R 7 + R 56 |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
б
Рис. 1.28
Источник тока J43 преобразуем в источник напряжения E437 и E4356 :
E437 = J43R437 = 2,734 ×176,86 = 483,54 B,
E4356 = J43R4356 = 2,734 ×302,64 = 837,42 B.
В результате этих преобразований схема будет иметь следующий вид (рис. 1.29):
Рис. 1.29 |
|
Рис. 1.30 |
С целью дальнейшего упрощения схемы объединим источники напряжения и со- противления:
19
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
E′8 = E8 − E4356 = −627,42 B,
E¢2¢ = E¢2 + E437 = 2843,54 B,
R¢8 = R8 + R 4356 = 822,64 Ом,
R¢2¢ = R 2 + R 437 = 796,86 Ом,
R1¢ = R1 + R567 = 332,39 Ом.
Схема примет следующий вид (рис. 1.30).
Далее целесообразно использовать метод узловых напряжений. Для определения напряжения U04 необходимо составить одно уравнение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
ö |
|
|
|
¢ |
|
¢¢ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
E8 |
|
E2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U04 × ç |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
÷ = |
|
|
|
+ |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
R |
¢¢ |
|
|
¢ |
|
|
¢ |
¢¢ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è R8 |
|
2 |
|
|
|
R1 |
ø R8 |
|
R2 |
|
|||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
627,42 |
|
2843,54 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
E8 |
|
+ |
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
- |
+ |
|
|
|
||||||||||||||
U04 |
= |
|
R¢8 |
|
R¢2¢ |
|
|
|
= |
|
822,64 |
796,86 |
|
|
= 512,02 В. |
|||||||||||||||||
1 |
|
+ |
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
1 |
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
¢ |
|
¢¢ |
|
¢¢¢ |
|
|
822,64 |
796,86 |
|
332,39 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
R8 |
|
|
R2 |
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Определим токи в схеме рис. 1.30 на основании второго закона Кирхгофа:
|
′′ |
′ ′′ |
|
¢ |
|
′′ |
- U04 |
|
2843,54 - 512,02 |
|
|||
|
|
|
E2 |
|
|
||||||||
U04 |
= E2 |
− I2R2 |
, |
I2 |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
= 2,93 А, |
|
¢¢ |
|
|
|
796,86 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
U04 |
= E′8 - I8R′8 , |
I8 = |
E′8 - U04 |
|
= |
-627,42 - 512,02 |
= -1,385 А; |
||||||
|
|
822,64 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R¢8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
= |
U04 = 512,02 |
=1,54 А. |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
¢ |
|
322,39 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|||||
По схеме рис. 1.29 определим напряжения между узлами 6, 3, 5:
U63 = I8R4356 + E4356 + I1R567 = -1,385×302,54 + 827,42 +1,54 ×172,39 = 673,745 В, U53 = I¢2R437 - E437 + I1R567 = 2,93×176,86 - 483,54 +1,54 ×172,39 = 300,14 В;
U56 = U53 - U63 = 300,14 - 673,745 В;
Определим токи I5 , I7 и I4 (см. рис. 1.26):
I5 = U63 = 673×745 = 0,875 А, R56 770
I7 = U53 = 300 ×14 = 0,667 А, R7 450
I43 = U56 = -373×605 = -0,474 А. R43 790
20
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Для определения неизвестных токов I4 ; I3; I2 составим уравнения по первому за-
кону Кирхгофа (см. рис. 1.26) для узлов 4, 6 и 2:
для узла 4 I2 = I1 - I8 - J02 =1,54 + 1,385 - 3 = -0,075 А;
для узла 6 I4 = I5 - I8 - J04 = 0,875 + 1,385 - 4 = -1,74 А; для узла 2 I3 = I4 + J04 = -1,74 + 4 = 2,26 А.
2. Составление баланса мощностей
Мощность источника ЭДС положительна при совпадающих направлениях ЭДС и тока ветви и отрицательна при противоположном направлении ЭДС и тока ветви
(рис. 1.31):
PE = I1 × E1 |
PE = -I1 × E1 |
Рис. 1.31
PE – мощность источника напряжения.
Мощность источника тока определяется произведением тока данного источника и напряжения на его зажимах. Она положительна при противоположных направлени- ях на зажимах источника тока и тока источника (рис. 1.32).
|
Рис. 1.32 |
|
PJ = U21J04 = I4 × R 4 × J04 |
PJ = -U21J04 = -I4 × R4 × J04 |
|
PJ – мощность источника тока. |
|
|
Мощность, выделяемая в активных сопротивлениях, всегда положительна и равна
I2R = P.
Баланс мощности записывается в виде Pист = Pпр :
m |
n |
f |
åEiIi + åJk Uk = åRlIl2 , |
||
i=1 |
k =1 |
l=1 |
где m – число источников ЭДС в схеме; n – число источников тока в схеме;
f – число активных сопротивлений в схеме. Составим баланс мощностей для схемы рис. 1.26:
21
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
E2I2 |
+ E8I8 + J04U62 + J02U54 = Pист , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
I2R |
1 |
+ I2R |
2 |
+ I2R |
3 |
+ I2R |
4 |
+ I2 |
(R |
1 |
+ R |
6 |
) + I2R |
7 |
+ I2R |
8 |
= P , |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
7 |
8 |
пр |
||||||||
где |
U62 |
= -I4R 4 , U54 = E2 - I2R2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Pист = −37 − 277 + 3758 +1632 = 5076 Вт, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Pпр = 379,9 + 3,4 +1276,9 +1634,9 + 589,5 +199,6 + 997,5 = 5081 Вт. |
||||||||||||||||||
3. Определение тока в ветви с сопротивлением методом
эквивалентного генератора напряжения
Пусть требуется определить ток I4 методом эквивалентного генератора напряже-
ния:
а) определим напряжение эквивалентного генератора напряжения, для чего исклю- чим сопротивление R 4 из исходной схемы (рис. 1.33).
Методом контурных токов оп- ределим токи в ветвях схемы.
Уравнения имеют вид
ìJ (R |
8 |
+ R |
5 |
+ R |
6 |
+ R |
1 |
) + |
|
|||||||||
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ï+J2R1 + J04(R5 + R6) = E8, |
|
|||||||||||||||||
íJ R |
1 |
+ J |
2 |
(R |
2 |
+ R |
7 |
+ R |
) - |
|
||||||||
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= E2. |
|
|
||||
î-J04R7 - J02R2 |
|
|
||||||||||||||||
В |
этих уравнениях |
контурные |
|
|||||||||||||||
токи J04 и J02 равны токам ис- |
Рис. 1.33 |
|||||||||||||||||
точников |
|
тока. |
|
После подста- |
||||||||||||||
новки численных значений получается система уравнений:
ìJ1 ×145 + J2 ×16 = -288,
íîJ2 ×123 + J1 ×16 = 416,
отсюда
J1 = -2,4 А, J2 = 3,69 А.
Токи в ветвях схемы (см. рис. 1.33)
I5 = J04 + J1 =1,6A, I3 = J04 = 4A,
I7 = -J04 + J2 = -0,31A.
Значение этих трех токов дает возможность определить напряжение U26xx ;
U26xx = -R3I3 + R7I7 - (R5 + R6 )I5 = -4,250 - 0,31× 450 -1,6 × 770 = -237 В.
22
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com