Завдання 7

Знайти:

• невідому константу , розподіли компонент, математичне сподівання і коваріаційну матрицю випадкового вектора ;

• умовний розподіл компоненти за умови, що , умовний розподіл компоненти за умови, що , умовне математичне сподівання компоненти за умови, що , умовне математичне сподівання компоненти за умови, що , якщо набуває значень ;

• перевірити, чи компоненти вектора є незалежними;

• обчислити розподіл суми (для варіантів №1-6), різниці (для варіантів №7-12), добутку (для варіантів №13-18), частки (для варіантів №19-25) випадкових величин та .

Розподіл ймовірностей випадкового вектора має такий вигляд:

Варіант 1 Варіант 2

	-2	0	1	2
0	0,1	0,15	0,25	0,05
1	0,05		0,01	0,02
2	0,06	0,04	0,01

	-1	0	3	5
-1	0,15	0,05	0,01	0,09
1	0,25		0,03	0,01

Варіант 3 Варіант 4

	2	4	1	0	-1
0	0,01	0,02	0,01	0,03	0,15
1	0,03		0,05	0,01	0,02
2	0,03	0,04	0,1		0,1

	-1	0	1	2	3
0	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06
1	0,13	0,17	0,01	0,01

Варіант 5 Варіант 6

	2	3	4
-2	0,25	0,05	0,01
-1	0,01	0,01	0,02
0		0,25	0,1

	1	3
-1	0,03	0,2
0	0,02	0,1
1	0,01
2	0,05	0,3

Варіант 7 Варіант 8

	-2	-1	0	1	2
2	0,02	0,04	0,04	0,08	0,01
3	0,15	0,1		0,06	0,15

	-1	0	1
0	0,05	0,04	0,03
1	0,1	0,05	0,02
2		0,15	0,01
3	0,16	0,14

Варіант 9 Варіант 10

	1	2	3
-1	0,13	0,02	0,01
0		0,17	0,18
1	0,05	0,01	0,01
2		0,12	0,03

	-3	0	1	2
0	0,2	0,01	0,1	0,05
1	0,05		0,12	0,24

Варіант 11 Варіант 12

	-2	-1	0	1
0	0,04	0,1	0,11	0,03
2	0,05	0,19	0,1	0,02
3	0,01		0,04	0,01

	1	2
-2	0,1	0,2
-1		0,01
0	0,01	0,08
2	0,13
3	0,1	0,17

Варіант 13 Варіант 14

	-2	-1	0	1	2	3
0	0,01	0,02		0,05	0,01	0,03
1	0,04		0,08		0,01

	-3	0	3
-1	0,11	0,05	0,01
0		0,05	0,01
1	0,19	0,1

Варіант 15 Варіант 16

	-2	-1	0	1
0			0,01	0,01
2	0,08	0,03	0,06	0,04
3	0,1	0,2	0,03	0,07

	0	1	2	3
-1	0,15		0,05	0,1
0	0,19	0,1	0,11

Варіант 17 Варіант 18

	-3	-2	0	2	3
0	0,13	0,17		0,1
2		0,11	0,02	0,1	0,01
3	0,03		0,02	0,01

	-1	0	2	3	4
-2	0,03		0,05	0,05	0,25
2	0,02	0,01	0,04	0,1	0,14

Варіант 19 Варіант 20

	-2	-1	1	2	3
-2	0,03		0,03	0,05	0,03
2	0,2	0,1	0,25	0,01

	-1	0	1
-2	0,15	0,02	0,01
-1		0,1	0,17
1	0,01	0,02	0,03
2	0,01	0,2

Варіант 21 Варіант 22

	0	1	2
-2	0,02	0,01	0,02
-1	0,1		0,05
1	0,11		0,19
2	0,06	0,18	0,02

	-1	0	1	2
-2	0,2	0,02	0,02	0,01
1	0,03		0,45	0,01

Варіант 23 Варіант 24

	-2	1	2
1	0,15	0,05	0,25
2	0,1		0,05
3	0,02	0,02	0,02

	0	2
-2	0,11	0,12
-1	0,13	0,02
1		0,1
2	0,15	0,01

Варіант 25

	-1	0	2	4
-1	0,04	0,01	0,05	0,1
1		0,01	0,09	0,1
2	0,15	0,15		0,02

Завдання 8

Знайти:

• розподіли компонент випадкового вектора ;

• умовну щільність розподілу компоненти за умови, що , умовну щільність розподілу компоненти за умови, що , тобто і ;

• математичне сподівання і коваріаційну матрицю вектора ;

• умовні математичні сподівання та ;

• перевірити, чи компоненти вектора є незалежними;

Щільність розподілу вектора має такий вигляд:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. R .

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. R .

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

Завдання 9. Перевірка статистичних гіпотез

1. В експериментах спостерігалася невід’ємна неперервна випадкова величина . Її значення (упорядковані за величиною і округлені з точністю до 0,01) для експериментів дорівнюють:

0,01; 0,04; 0,17; 0,18; 0,22; 0,25; 0,25; 0,29; 0,42; 0,46; 0,47; 0,56; 0,59; 0,67; 0,70; 0,72; 0,76; 0,78; 0,83; 0,85; 0,87; 0,93; 1,00; 1,01; 1,01; 1,02; 1,03; 1,05; 1,32; 1,34; 1,37; 1,47; 1,50; 1,52; 1,54; 1,58; 1,71; 1,90; 2,10; 2,35; 2,46; 2,46; 2,50; 3,73; 4,07; 6,03; 6,21; 7,02.

Перевірити гіпотезу про те, що ці дані є реалізацією вибірки з показникового розподілу з функцією розподілу .

2. Дві монети підкинули 100 разів, причому два герби випали 23 рази, а дві решки випали 20 разів. Перевірити гіпотезу про те, що кількість підкидань ξ двох монет має біноміальний розподіл.

3. Чотири монети були підкинуті 20160 разів, при цьому комбінації: чотири герби, три герби і решка, два герби і дві решки, один герб і три решки, чотири решки – з’я­ви­ли­ся відповідно таку кількість разів: 1181, 4909, 7583, 5085, 1402 .

Чи свідчать ці дані про те, що кількість гербів, що з’явилися на чотирьох монетах, є бі­ном­іаль­но розподіленою випадковою величиною? Вважати, що всі монети є симетричними. Сформулювати поставлену задачу як задачу перевірки статистичних гіпотез.

4. 1871 по 1900 р. у Швейцарії народилося 1359671 хлопчик і 1285086 дівчаток. Чи погоджується з цими даними гіпотеза H₀: ймовірність народження хлопчика становить 0,5?

5. Гральний кубик підкидають 120 разів. Числа від 1 до 6 випали відповідно 18, 23, 15, 21, 25, 18 разів. Чи узгоджуються ці дані при рівні значущості 0,01 з гіпотезою про симетричність кубика?

6. При 80 незалежних випробуваннях подія А відбулася 16 разів. Перевірити уз­го­дже­ність цих даних при рівні значущості 0,05 з гіпотезою H₀ про те, що у кожному випробуванні. При якому рівні значущості гіпотеза H₀ відхиляється?

7. При 12000 підкиданнях монети Пірсон отримав 6019 появ герба. Чи узгоджуються ці дані при рівні значущості 0,05 з гіпотезою про те, що монета була симетричною?

8. При 2000 підкиданнях монети отримано 1474 появи герба. Перевірити узгодженість цих даних при рівні значущості 0,05 з гіпотезою H₀:

а) монета симетрична;

б) ймовірність появи герба дорівнює .

9. У таблиці випадкових чисел серед 1000 знаків цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 зустрілися таку кількість разів:

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Частота	90	105	112	97	108	101	93	87	103	104

Перевірте гіпотезу про те, що всі цифри в таблиці випадкових чисел зустрічаються з однаковою ймовірністю.

10. Цифри в десятковому записі числа . У таблиці наведена кількість появ кожної з цифр у десятковому записі числа з 800 десятковими знаками.

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Кількість появ цифри	74	73	83	86	78	67	78	81	84	96

Чи погоджується гіпотеза про однакові ймовірності появи цифр у десятковому записі числа з наведеними даними?

11. Поява цифр у розвиненні числа . Цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 серед перших 800 десяткових знаків числа з’явилися:

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Кількість появ цифри	74	92	83	79	80	73	77	75	76	91

Чи погоджується гіпотеза про однакову ймовірність появ кожної цифри в розвиненні числа

з наведеними даними?

12. Проводилися досліди з киданням одночасно 12 гральних кубиків. Позначимо через випадкову величину — кількість кубиків, на яких випало 4, 5 або 6 очок. Нехай – кількість дослідів, в яких спостерігалося значення , випадкової величини . Дані для дослідів наведені в таблиці:

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Всього
	0	7	60	198	430	731	948	847	536	257	71	11	0	4096

Чи узгоджуються ці дані з гіпотезою про симетричність кубиків?

13. У дослідах спостерігалася невід’ємна неперервна випадкова величина . Її значення (впорядковані за величиною і заокруглені з точністю до 0,01) для дослідів виявилися рівними:

0,01	0,01	0,04	0,17	0,18	0,22	0,22	0,25	0,25	0,29
0,42	0,46	0,47	0,47	0,56	0,59	0,67	0,68	0,70	0,72
0,76	0,78	0,83	0,85	0,87	0,93	1,00	1,01	1,01	1,02
1,03	1,05	1,32	1,34	1,37	1,47	1,50	1,52	1,54	1,59
1,71	1,90	2,10	2,35	2,46	2,46	2,50	3,73	4,07	6,03

Групуючи дані по однаково ймовірних (при гіпотезі ) інтервалах, перевірити гіпотезу : (рівень значущості прийняти рівним 0,1).

14. Серед “випадкових цифр” цифри, не більші від 4, зустрілися разів. Перевірити гіпотезу про випадковість цифр. При якому рівні значущості гіпотеза відхиляється?

15. При незалежних випробувань події , які складають повну групу, здійснились відповідно 1905, 1015 і 1080 разів. Перевірити, чи узгоджуються ці дані при рівні значущості 0,05 з гіпотезою : , де .

16. Метод отримання випадкових чисел був застосований 250 разів, при цьому отримані такі результати:

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Частота появи цифри	27	18	23	31	21	23	28	25	22	32

Чи можна вважати, що застосований метод дійсно дає випадкові числа? Прийняти .

17. На екзамені студент відповідає лише на одне питання по одній із трьох частин курсу. Аналіз питань, заданих 60 студентам, показав, що 23 студенти отримали питання з першої, 15 – з другої і 22 – з третьої частини курсу.

Чи можна вважати, що студент, який іде на екзамен, з однаковою ймовірністю отримає питання по будь-якій з трьох частин курсу? Прийняти .

18. Нижче наводяться дані про фактичні об’єми збуту (в умовних одиницях) в п’яти районах:

Район	1	2	3	4	5
Фактичний об’єм збуту	110	130	70	90	100

Чи узгоджуються ці результати з припущенням про те, що збут продукції в цих районах повинен бути однаковим? Прийняти .

19. За таблицею випадкових чисел отримати вибірку об’єму з рівномірного розподілу на . Перевірити, чи ця вибірка дійсно є вибіркою зі згаданого розподілу.

20. При 24000 підкидань монети К.Пірсон одержав 12012 випадань герба. Чи погоджується гіпотеза про симетричність монети з цими даними?

21. В одному з експериментів із гральними кубиками Уелдон підкинув кубик 49152 рази. При цьому в 25145 випадках з’явилися 4, 5 або 6. Чи погоджується з цими даними гіпотеза про симетричність кубика?

22. У кожну зі 100 мішеней зроблено по 10 незалежних пострілів зі спортивного пістолета, причому фіксувалися лише влучення і промахи. Результати наведені в таблиці:

Кількість влучень i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ni	0	2	4	10	22	26	18	12	4	2	0

Перевірити чи підпорядковуються результати бі­но­мі­аль­но­му закону розподілу з ймовірністю влучення 0,5. Прийняти .

23. Сім монет підкидалися одночасно 1536 разів, причому щоразу відмічалася кількість гербів, що випали. У таблиці наведені кількості дослідів, в яких випало гербів.

	0	1	2	3	4	5	6	7
	12	78	270	456	386	252	69	13

Перевірити, чи узгоджується гіпотеза про бі­но­мі­аль­ний закон розподілу випадкової величини – кількості гербів, що випадають на семи монетах, з дослідними даними. Врахувати, що ймовірність випадання герба при киданні кожної з монет дорівнює 0,5. Прийняти .

24. Серед 2020 родин з двома дітьми 527 родин мають двох хлопчиків і 476 – дві дівчинки, у решти (1017 родин) – діти різної статі.

Чи можна вважати, що кількість хлопчиків у родині, яка має двоє дітей, є біноміально розподіленою випадковою величиною в припущенні, що ймовірність народження хлопчика становить 0,51?

25. У 50 матерів, які народжували по п’ять разів, кількість синів становила:

4; 1; 4; 2; 1; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 3; 3; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 0; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 1; 3; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 2; 5; 4; 4; 2; 4; 1; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4.

Перевірити при рівні значущості 0,01 гіпотезу про біноміальний закон розподілу випадкової величини – кількості синів у матері, яка має п’ятеро дітей, вважаючи, що ймовірність народження сина становить 0,51.

Завдання 10. Задано статистичний ряд частот. Знайти розмах вибірки, емпіричну функцію розподілу, вибіркове середнє та вибіркову дисперсію. Побудувати статистичний ряд відносних частот, графіки емпіричної функції розподілу та полігону відносних частот.

Варіант 1

	1,21	1,72	1,89	2,02	2,1	2,15	2,16	2,48	2,5	2,6
	10	12	11	8	9	10	10	7	12	11

Варіант 2

	-4,2	-4,15	-3,3	-2,55	-1,1	0,8	0,95	1,02	1,11	1,23
	14	6	7	11	13	9	10	10	8	12

Варіант 3

	4,5	4,68	4,95	5,05	5,3	5,68	6,15	6,2	6,5	7,05
	4	5	4	6	7	4	5	5	7	3

Варіант 4

	0,21	0,72	0,9	1,01	1,21	1,53	2,14	2,46	2,52	3,1
	8	6	4	4	5	6	4	7	3	3

Варіант 5

	3,58	4,1	5,55	6,4	7,05	7,45	7,9	8,01	8,25	8,8
	5	5	7	4	4	5	3	4	7	6

Варіант 6

	-2,5	-1,5	0,55	0,85	2,27	3,2	3,84	4,2	4,45	4,5
	8	8	11	10	12	11	9	12	10	9

Варіант 7

	1,2	1,25	1,69	2,32	2,8	2,96	3,16	3,48	3,53	3,65
	9	10	10	9	9	14	9	10	8	12

Варіант 8

	10,5	11,25	12,05	12,95	13,8	14,1	14,8	15,01	15,5	16
	13	12	7	10	8	10	10	12	9	9

Варіант 9

	4,52	5,02	6,25	7,1	7,45	7,75	8,2	8,25	8,5	9,2
	8	6	7	13	10	12	11	11	12	10

Варіант 10

	12,05	12,59	13,4	13,5	14,1	14,5	15,05	15,58	16,2	17,01
	9	9	10	13	9	10	12	9	9	10

Варіант 11

	-1,25	-1,05	-0,9	-0,45	-0,4	-0,1	0,55	0,58	1,09	1,2
	7	12	11	10	10	9	9	12	10	10

Варіант 12

	22,2	22,28	23,05	23,56	24	24,54	24,9	25,1	25,42	25,5
	15	13	8	10	7	10	10	7	12	8

Варіант 13

	-1,21	-1,12	-0,89	-0,02	0,1	0,15	0,16	0,48	1,15	1,6
	10	10	10	8	9	7	11	13	10	12

Варіант 14

	10	11,5	12,44	13,21	14,4	15,01	15,54	16,01	17,2	18,1
	5	7	3	8	2	5	5	6	4	5

Варіант 15

	29,8	29,9	30,21	30,27	31,02	31,54	32,05	33,11	33,5	34
	11	11	13	10	10	9	7	8	11	10

Варіант 16

	0,5	0,86	0,9	1,12	2,25	2,46	2,8	3,05	3,45	4
	6	6	5	7	4	3	4	5	7	3

Варіант 17

	-0,87	-065	-0,05	0,1	0,12	0,84	1,12	1,42	1,5	1,65
	14	12	9	11	8	10	10	9	9	8

Варіант 18

	10,1	11,23	12,42	13,45	14,52	14,8	15,2	15,55	16,2	17
	4	6	5	13	12	12	7	15	12	14

Варіант 19

	5,4	5,54	5,87	6,02	6,1	6,25	6,4	6,55	6,8	7,2
	5	5	9	4	3	3	4	6	5	6

Варіант 20

	1,15	2,5	3,12	4,05	4,5	4,98	5,4	6,65	7,1	8,12
	7	8	7	8	10	10	13	14	10	13

Варіант 21

	13,12	13,84	14,05	14,5	14,65	15,02	15,55	16,2	16,5	17,23
	11	10	11	10	15	10	7	8	10	8

Варіант 22

	-9,5	-8,16	-7,15	-6,5	-5,8	-5,12	-4,6	-2,3	1,15	2,6
	10	6	12	11	11	10	11	11	8	10

Варіант 23

	-1,12	-0,5	1,05	2,31	3,4	4,05	4,15	4,45	5,05	5,51
	20	21	10	14	4	3	5	5	8	10

Варіант 24

	3,68	3,87	4,1	4,24	4,5	4,84	5,12	5,56	6	6,25
	7	7	5	6	3	4	3	5	7	3

Варіант 25

	10,1	12,54	16,4	17,24	19,25	24,5	26,13	29,6	30,05	32
	18	12	15	7	8	5	5	5	14	11

18