Задание №16/2
В процессе обработки результатов прямых измерений ёмкости конденсатора определено: среднее арифметическое значение ёмкости , среднее квадратическое отклонение среднего арифметического, границы неисключенных остатков двух составляющих систематической погрешностии.
Необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать его в соответствии МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Значение доверительной вероятности Рд = 0,95. При расчётах полагать, что случайные погрешности распределены по нормальному закону, а число наблюдений существенно больше 30.
Решение:
1. Доверительные границы случайной составляющей:
нФ (16.1)
где - коэффициент Стьюдента при количестве измерений.
2. Определяем доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения
(16.2)
где m - число суммируемых погрешностей;
- граница i-й неисключенной систематической погрешности;
k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью.
При доверительной вероятности Рд = 0,95 коэффициент kравен 1,1.
Тогда:
нФ (16.3)
3. Определим границы суммарной погрешности результата измерения.
а) Находим отношение:
(16.4)
б) В случае если < 0,8, то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница . Если> 8, то пренебрегают случайной погрешностью по сравнению с систематическими и принимают, что граница погрешности результата = с.
Погрешность, возникающая из-за пренебрежения одной из составляющих погрешности результата измерения при выполнении указанныx неравенств, не превышает 15 %.
в) В случае, если неравенства п. б) не выполняются (0,8 8), то границу погрешности результата измерения находят путём построения композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины.
4. Определим границы суммарной погрешности результата измерения.
|
(16.8) |
|
|
5. Записываем результат измерения. Так как погрешность симметрична относительно результата измерения, то
C= (18,3 1,1) нФ, Рд = 0,95 (16.9)
Ответ: C= (18,3 1,1) нФ, Рд = 0,95.
Задание №20/2
Резонансная частота колебательного контура определялась путем многократных измерений (n = 21) индуктивности и емкости, входящих в контур катушки индуктивности и конденсатора, с последующим вычислением по формуле.
Определить случайную погрешность результата косвенного измерения с доверительной вероятностью Рд = 0,95 и записать результат по одной из установленных форм.
При обработке принять мГн,мкФ,,,.
Решение:
1. Находим значение результата косвенного измерения частоты:
МГц |
(20.1) |
2. Определяем частные случайные погрешности косвенного измерения:
Гц |
(20.2) |
|
|
Гц |
(20.3) |
3.Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результата косвенного измерения
(20.4) |
4. Определяем значение коэффициента Стьюдента t для заданной доверительной вероятности Рд и числа наблюдений n.
При n 30 предварительно должно быть определено так называемое «эффективное» число степеней свободы распределения Стьюдента.
Оно определяется из выражения:
, (20.5)
где ni - число наблюдений при прямых измерениях xi .
- относительная оценка среднеквадратического отклонения
Для решаемой задачи
в) При получении дробного значения nэфф для нахождения коэффициента Стьюдента применяем линейную интерполяцию:
, (20.6)
где t1, t2 и n1, n2 - соответствующие табличные значения коэффициента Стьюдента и числа наблюдений (для заданной Рд), между которыми находится значение nэфф..
Для решаемой задачи при nэфф = 23,4 и Рд = 0,95 находим n1 = 23, t1 = 2,069, n2 = 24, t2 = 2,064, а затем вычисляем значение t = 2,067.
5. Вычисляем доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения:
Гц (20.7)
6. Записываем результат измерения:
5 |
(20.8) |
7. Проанализируем полученные результаты с использованием критерия ничтожных погрешностей.
В соответствии с этим критерием, если частная погрешность меньше 1/3 суммарной погрешности, то она является «ничтожной» и может быть исключена из рассмотрения.
Для решаемой задачи ;
Частная погрешность считается «ничтожной», и ею можно пренебречь. Проведём расчет без нее.
8. Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результата косвенного измерения:
|
(20.9) |
«Эффективное» число степеней свободы распределения Стьюдента будет равно . Тогда коэффициент Стьюдента при доверительной вероятности Рд=0,95 будет равен t = 2,079.
9. Вычисляем доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения:
Гц (20.10)
10. Записываем результат измерения:
5 |
(20.11) |
Ответ: 5.