6. Линейные операторы с простым спектром.
Определение 1. Пусть dim V = n. Если линейный оператор A векторного пространства V имеет n попарно различных собственных значений, то он называется линейным оператором с простым спектром.
Теорема 1. Линейный оператор A n - мерного векторного пространства является линейным оператором с простым спектром тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение линейного оператора имеет n попарно различных корней, принадлежащих полю P.
Теорема 2. Линейный оператор A имеет в базисе v1, v2, ..., vn диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все вектора базиса являются собственными векторами линейного оператора A.
Доказательство. Необходимость. Пусть линейный оператор A имеет в базисе v1, v2, ..., vn диагональную матрицу
. (1)
Тогда по определению матрицы линейного оператора имеем
Av1 = 1v1 + 0v2 + ... + 0vn = 1v1, Av2 = 0v1 + 2v2 + ... + 0vn = 2v2, …, Avn = 0v1 + 0v2 + ... + nvn = nvn,
и тогда по определению вектора v1, v2, ..., vn являются собственными векторами линейного оператора A.
Достаточность. Пусть вектора базиса v1, v2, ..., vn являются собственными векторами линейного оператора A, принадлежащими к собственным значениям 1, 2, ..., n. Тогда для них выполняются равенства (1) и матрица линейного оператора A в этом базисе диагональная.
Теорема 3. Если вектора b1, b2, ..., bk принадлежат к попарно различным собственным значениям линейного оператора A, то они образуют линейно независимую систему.
Доказательство. Доказательство теоремы проводим методом математической индукции по k . При k = 1 утверждение теоремы справедливо, так как собственный вектор b1 0 и образует линейно независимую систему.
Предположим, что утверждение теоремы верно для k 1 векторов и докажем его для k векторов. По условию
Abi = ibi; i = 1, 2, ..., k, (2)
где i j ; i, j = 1, 2, ..., k, i j. Пусть выполняется равенство:
1b1 + 2b2 + ...+ kbk = 0, (3)
где 1, 2, ..., k Р. Покажем, что все 1, 2, ..., k равны нулю. Действительно, если k = 0, то из (9) имеем 1b1 + 2b2 + ...+ k-1 bk-1 = 0 и в силу линейной независимости векторов b1, b2, ..., bk-1(индуктивное предположение) все числа 1, 2, ..., k-1 равны нулю. Пусть k 0. Применяем к обеим частям равенства (3) линейный оператор A, используя свойства линейного оператора и равенства (2) получаем:
1Ab1 + 2Ab2 + ...+ k Abk = 0, 11b1 + 22b2 + ...+ kkbk = 0.
Умножая равенство (3) на k и вычитая почленно из последнего равенства, находим:
1(1k)b1 + 2(2k)b2 + ...+ k-1(k-1k)bk1 = 0.
Так как система векторов b1, b2, ..., bk-1 линейно независима, то все числа i(ik), i = 1,2, ...,k-1, равны нулю. Так как по условию i k, то i k0 и i = 0, i = 1,2, ...,k-1, Тогда из (3) имеем kbk = 0, k = 0 и получаем противоречие.
Теорема 4. Линейный оператор A с простым спектром имеет в некотором базисе диагональную матрицу.
Доказательство. Пусть A - линейный оператор с простым спектром, т.е. он имеет n попарно различных характеристических корней , где n= dim V . По теореме 2 A имеет n попарно различных собственных значений 1, 2, ..., n , к которым принадлежат собственные вектора b1, b2, ..., bn . По теореме 3 система векторов b1, b2, ..., bn линейно независима, и образует базис V . Тогда по теореме 2 матрица линейного оператора A в этом базисе диагональная. Теорема доказана.
Следствие. Любая матрица А порядка n с элементами из поля Р, характеристический многочлен которой имеет n попарно различных корней из Р, подобна диагональной матрице.