1.2. Принцип суперпозиции

Согласно этому принципу световые волны разных частот и разных направлений распространяются в вакууме независимо друг от друга. Можно указать простые эксперименты, наглядно иллюстрирующие принцип суперпозиции. Так, через одно и то же отверстие в экране два наблюдателя могут видеть разные объекты.

Математически принцип суперпозиции является следствием линейности волнового уравнения, описывающего распространение световых волн в вакууме. В самом деле, если поля , , … являются решениями волнового уравнения, то его решением оказывается и сумма полей

В этом можно убедиться, подставляя, например, в волновое уравнение плоские волны вида

.

При этом волновое уравнение распадается на независимые уравнения для отдельных волн.

Почти тривиальный в электромагнитной теории, принцип суперпозиции для сторонников корпускулярной теории света был непонятен, так как корпускулы, принадлежащие разным световым пучкам, должны как-то взаимодействовать, рассеиваться друг на друге.

Для световых волн, распространяющихся в материальной среде, современная лазерная оптика дает много примеров сильных нарушений принципа суперпозиции. С помощью лазеров получены громадные плотности потока энергии, порядка S ~ 10²⁰ Вт/м², что дает значение напряженности электрического поля световой волны, сравнимого с внутриатомными полями(E~10⁹ В/м). Квантовая электродинамика предсказывает нарушение принципа суперпозиции для световых волн и в вакууме, но интенсивность которых очень большая даже по современным меркам. В очень мощных световых полях должно наблюдаться рассеяние света на свете и в вакууме.

Применяя принцип суперпозиции, можно показать, что две плоские монохроматические бегущие волны с одинаковой частотой, распространяющиеся в одном и том же направлении, в результате сложения дают также плоскую монохроматическую волну той же частоты, распространяющуюся в том же направлении. Если волны имеют разные частоты или различные направления распространения, то в результате их сложения не будет получена монохроматическая бегущая волна. Рассмотрим два примера.

Биения

Биения – периодические во времени изменения амплитуды колебания, возникающего при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами. Биения появляются вследствие того, что величина разности фаз между двумя колебаниями с различными частотами все время меняется так, что оба колебания оказываются в какой-либо момент времени в фазе, через некоторое время в противофазе и т.д. Соответственно амплитуда результирующего колебания периодически достигает то максимума, равного сумме амплитуд складываемых колебаний, то минимума, равного разности этих амплитуд (рис. 1.3).

E

Р и с. 1.3

При сложении двух бегущих в одном направлении волн с близкими частотами и волновыми числами биения возникают не только во времени, но и в пространстве.

Рассмотрим случай сложения двух монохроматических волн, имеющих частоты ₁и₂и распространяющихся в одном направлении. Предположим, что векторыв этих волнах коллинеарны. Для определенности осьOzсовместим с направлением распространения волн, а осьOxсовместим с направлением вектораволны, т.е. предположим, что(Е_x, 0, 0), а(0,В_y, 0). Чтобы не загромождать изложения, будем следить за вектором, поскольку поведение вектораопределяется по векторус помощью соотношений между векторами плоской волны (правая тройка). Кроме того, предположим, что амплитуды напряженностей электрического поля слагаемых волн одинаковы:

В соответствии с принципом суперпозиции имеем:

,

где использована формула сложения косинусов. Учитывая, что k₁=₁/c,k₂=₂/c, представим в виде:

,

который показывает, что результирующее электромагнитное поле распространяется без затухания в направлении положительных значений оси Ozсо скоростьюc(об этом свидетельствует наличие комбинации (t - z/c) в аргументе функции). В этом смысле речь идет о бегущей волне, однако не монохроматической. Учитывая, что в пределах оптического диапазона всегда соблюдается соотношение |₁ –₂| < < (₁ +₂) можно дать следующую наглядную интерпретацию такой волны: результирующая волна с частотой (₁ +₂)/2 и волновым числом (k₁ +k₂)/2, которые близки к частоте и волновому числу любой из компонент, имеют амплитуду, которая модулирована в пространстве и времени меняющейся огибающей с частотой (₁ -₂)/2 и волновым числом (k₁ -k₂)/2. На рис. 1.3 сплошной линией показаны колебания частоты (₁ +₂)/2, а пунктирной – огибающая амплитуды колебаний, изменяющейся от максимального значения 2Е₀до нуля. Если амплитудыЕ₁₀иЕ₂₀полей слагаемых волн не равны друг другу, то амплитуда суммарной волны изменяется от(Е₁₀ +Е₂₀)до(Е₁₀ –Е₂₀).

Частота биений равна разности частот складываемых компонент

.

Врезультате интерференциипри сложении двух волн с равными частотами и разными, но близкими по направлению волновыми векторами,биения возникают только в пространстве (так называемый муар). Именно такую структуру имеют волны во френелевской зоне излучателей, а также волны в различных волноводных системах.

Суперпозиция колебаний (или волн) с близкими частотами может возникнуть в нелинейных системах. Так, если на нелинейное устройство, например, квадратичный детектор, подать сумму двух колебаний, получим:

Последнее слагаемое – колебание с разностной частотой – называется разностным тоном или тоном биений. Измерение тона биений лежит в основе точных измерений малых разностей двух близких частот, в частности сравнения некоторой измеряемой частоты с эталонной.