Контрольная работа Вариант 4 (только 3 задачи)

Задача 1.

Двухступенчатый стальной брус, длины ступеней которого в миллиметрах указаны на схеме, нагружен силами F₁ и F₂. Построить эпюры продольных сил и нормальный напряжений по длине бруса. Определить перемещение ∆l нижнего торцевого сечения бруса, приняв E = 2*10⁵ МПа. Числовые значения F₁ и F₂ , а также площади поперечных сечений A₁ и A₂ указаны в таблице.

Таблица 1

Номер варианта	F1 ,кН	F2 ,кН	A1, см2	A2,см2
4	1,6	3,8	0,2	0,6

Решение

Разделим брус на участки, границы которых определяются сечениями, где изменяться площадь поперечного сечения или приложены внешние нагрузки. Рассмотрим первый участок , отбросив верхнюю часть.

Силы F₁ и F₂ уравновешиваются внутренней продольной силой и равна алгеброической сумме :

N_Z1 = - F₁ + F₂ = -1,6 + 3,8 = 2,2 кН

Аналогично, при рассмотрении последующих участков :

N_Z2= N_Z3= N_Z1 = - F₁ + F₂= 2,2 кН

Построим эпюру N_Z. Т.к. у нас все продольные силы имеют положительный знак , следовательно по всей длине брус будет растянут.

Для определения напряжений в поперечных сечениях значение продольных сил необходимо разделить на площади соответствующих сечений.

Площадь поперечного сечения бруса :

в пределах участка I и II

A_I= A_II= A₁= 0,2 см²= 2 * 10^-5 м²

в пределах участка III

A_III= A₂= 0,6 см²= 6 * 10^-5 м²

Находим напряжение на отдельных участках бруса и строим эпюру

σ_I = N_Z1 / A_I= 2,2 *10³ /2 * 10^-5 = 110 * 10⁶ Н/м² = 110 МПа;

σ_II = N_Z2 / A_II= 2,2 *10³ /2 * 10^-5 = 110 * 10⁶ Н/м² = 110 МПа;

σ_III = N_Z3 / A_III= 2,2 *10³ /6 * 10^-5 = 36,6 * 10⁶ Н/м² = 36,67 МПа;

В соответствии с полученными значениями напряжений строим эпюру нормальных напряжений.

Полное удлинение бруса равно алгебраической сумме удлинений его участков

∆l=1/E *(σ_I*l_I + σ_II*l_II+ σ_III*l_III ) = 1/2* 10¹¹ * (110*10⁶*0,16 + 110*10⁶*0,04 + 36,67*10⁶*0,2)=

=29,34*10⁶ / 2*10¹¹ =14,67 *10 ^-5м = 0,1467 мм

Ответ: ∆l = 0,1467 мм.

Задача 2.

Биметаллический провод подвешивается на горизонтальном пролете l. Требуется определить:

а) стрелу провисания ʄ₁ в летних условиях с тем, чтобы в зимних условиях напряжение в проводе не привысило допускаемое;

б) распределение усилий и напряжений по различным материалам биметеллического провода в летних и зимних условиях;

в) «тяжение» провода в летних и зимних условиях N₁ и N₂.

Дать заключение о запасе прочности в различных частях провода.

Данные своего варианта взять из таблицы

Вариант	А, мм	l ,м	t1 ˚	t2˚	AA /AC	k=/	[S]
4	360	225	18	-10	6,0	2,5	2,4

Используемые формулы:

[2.1]

[2.2]

[2.3]

[2.4]

[2.6]

[2.7]

[2.8]

[2.9]

Решение: Составим таблицу механических характеристик составных частей провода

Модуль упругости, Н/мм2			Коэффициент расширения, 1/град			Предел прочности , Н/мм2 (МПа)			Удельный вес, Н/см3=Н/м *мм2
EA	EC	αA		αC	σBA		σBC
7*104	21*104	25*10-6		12,5*10-6	200		800	27*10-3		78*10-3

Определим «приведенные» величины биметаллического провода по формулам (2.1)-(2.4).

Причем для ускорения вычисления эти формулы следует упростить, разделив числители и знаменатели формул (2.1)-(2.3)на А_С, а формулу (2.4) – на произведение Е_С*А_С .

34,28*10^-3 Н/м *мм²

119,05 Н/мм²

Н/мм²

1/град

По формулам (2.7)-(2.9) вычислим вспомогательные элементы.

Н/мм²)³

*

Н/мм²)³

Найденные значения позволяют составить «уравнение состояния провода»(2.6):

Решаем уравнение методом подбора. Возьмем . При подстановке оказывается это число не подходит. Вторая проба числа дает хорошее приближение. Окончательно .

Обобщаем и анализируем полученные результаты.

Необходимая стела провисания:

летом

зимой

Близость результатов указывает на то, что зимняя нагрузка скомпенсировала температурное укорочение провода.

Летнее и зимнее «тяжение» провода:

Из соотношений найдем и в летние и зимние периоды:

Определим напряжение в частях биметаллического провода.

A_A = A /7 *6 = 308,57 мм

A_С = A / 7 = 51,43 мм

МПа

Оценка прочности частей биметаллического провода:

Вывод: так как , а , то это значит, что прочностных характеристик стали достаточно, а алюминия — недостаточно.

Задача 3.

Определить положение центра тяжести тонкой однородной пластины, форма и размеры которой в миллиметрах указаны на рисунке. Данные для своего варианта взять из таблицы.

Номер схемы	Вариант	a,мм	b,мм
XIII	4	160	100

Решение

Фигура состоит из 3 фигур 1 треугольника и 2 прямоугольников. Площадь отверстий прямоугольника 1 и треугольника 2 вводим со знаком «-» , а прямоугольника 3 вычисляем без учета имеющихся в нем отверстий.

Номер фигуры	Площадь A,см2	Координаты центров тяжести каждой части
		xi,см	yi,см
1	2*4= - 8	10	7
2	(12*6)/2= - 36	12/3=4	6/3=2
3	16*10= 160	8	5

Вычислим центр тяжести плоской фигуры по формулам:

[3.1]

[3.2]

Ответ центр тяжести плоской фигуры имеет координаты x_с = 9,1 см и y_с = 5,8 см.

Задача 4

Для двухопорной балки, нагруженной, как показано на рисунке, силами F₁ и F₂ и парой сил с моментом М, определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и подобрать необходимый размер поперечного сечения (двутавр или два швеллера), приняв [σ]= 160 МПа. Числовые значения величин для своего варианта задачи взять из таблицы.

Номер схемы	Вариант	A,м	b,м	c,м	F1,кН	F2,кН	M, кН*м
Схема VI	4	1,2	3	2	5	10	12

Решение