Программа семинаров

Электродинамика сплошных сред

1. Тензоры. Элементарные тензорные соотношения. Инвариантные тензоры. Усреднение тензоров по изотропному распределению. Задача 1 из [4].

2. Дифференциальные операторы и уравнения Максвелла в Фурье-представлении. Задача 2 из [4].

3. Анализ волновых свойств среды на примере холодной плазмы. Тензор диэлектрической проницаемости холодной плазмы в магнитном поле. Ленгмюровская волна. Эффект Фарадея. Задачи 5,6 из [4].

4. Одноосные кристаллы. Задачи 7,10,11 из [4].

5. Граничные условия в электродинамике. Отражение и преломление волн. Поверхностные волны. Задачи 24,13 из [4].

6. Скин-эффект. Найти длину затухания волны в одноосном кристалле с комплексными _||, _.

7. Энергия волн. Найти энергию ленгмюровской волны в холодной плазме. Задача 15 из [4].

8. Поле в движущемся диэлектрике. Задача 9 из [4].

9. Аналитические свойства функции (). Формула Крамерса-Кронига для проводников. Восстановление () по мнимой части. Задача 26 из [4].

10. Черенковское излучение. Возбуждение ленгмюровской волны движущимся зарядом в холодной плазме.

Гидродинамика

11. Уравнения идеальной гидродинамики, тензор плотности потока импульса, граничные условия. Задача 51 из [4].

12. Потенциальное обтекание шара идеальной жидкостью. Шарик в движущейся жидкости. Задачи 58, 61 из [4]. Найти закон всплывания сферического пузырька с глубины h.

13. Звук. Найти закон дисперсии звуковых волн в движущейся среде. Найти среднюю силу при отражении звука от границы двух сред. Задача 78 из [4].

14. Волны на границе раздела двух сред. Гравитационные и капиллярные волны на поверхности жидкости. Неустойчивость Рэлея-Тэйлора. Неустойчивость тангенциального разрыва. Задачи 52, 53, 56 из [4].

15. Движение вязкой жидкости. Тепловыделение. Течение Пуазейля. Задача о течении вязкой жидкости по наклонной плоскости. Задачи 65, 63 из [4].

16. Пузырек в жидкости. Радиационное и вязкостное затухание его радиальных колебаний. Задачи 67,80 из [4].

Теория упругости

17. Закон Гука. Однородные деформации. Граничные условия. Задача 89 из [4]. Найти форму упругого кубика, поставленного на гладкий стол (без трения) в поле тяжести. Задача 91 из [4] или задача о удлинении кабеля, который волокут по земле с трением в поле тяжести.

18. Отражение и преломление звуковых волн на границе раздела двух сред. Задача 90 из [4].

19. Изгиб и кручение стержней. Задача о горизонтально заделанном стержне. Задачи 93, 94 из [4]. Колебания и звук в стержне. Найти собственные частоты стержня круглого сечения со свободными концами.

20. Устойчивость стержней по Эйлеру. Задача 95 из [4].

ЗАДАНИЕ №1

1. Найти среднее по времени значение тензора E_(t)B_(t-) для электромагнитной волны с левой круговой поляризацией в вакууме. Амплитуда волны, E, волновый вектор, k, и фаза запаздывания, kc, заданы. Как изменится ответ для линейно поляризованной волны?

2. Найти диэлектрическую проницаемость однородного электролита с положительными (s=1) и отрицательными (s=2) ионами, если известно, что плотность потока частиц сорта s имеет вид f^s=n^sb^sq^sE-D^sn^s, где q^s- заряд, b^s- подвижность, D^s - коэффициент диффузии, n^s- концентрация ионов, причём отношение D^s/b^s=kT зависит только от температуры. Найти поле неподвижного точечного заряда в такой среде (указание: можно воспользоваться диэлектрической проницаемостью и решением задачи 8 из [4], или найти стационарное распределение плотности ионов вблизи стороннего заряда и решить задачу электростатики).

3. Плоская монохроматическая электромагнитная волна с круговой поляризацией падает по нормали на плоскую поверхность одноосного кристалла с диэлектрической проницаемостью _=2.25_+9.75h_ h_ . Под каким углом к нормали направлена ось кристалла h, если известно, что отражённая волна имеет эллиптическую поляризацию с отношением осей 17:35?

ЗАДАНИЕ №2

4. Пучок линейно поляризованного света с частотой  входит в водный раствор сахара, который вращает плоскость поляризации с постоянной =30град/см . После прохождения в растворе расстояния L=100см из-за разницы в поглощении свет стал эллиптически поляризованным с отношением осей равным 3. Какой будет поляризация, когда свет пройдет ещё такое же расстояние?

5. В некоторой среде плотность тока связана с напряженностью электрического поля соотношением j(r,t)=₀^()E(r,t-)d. Можно ли утверждать, (1) что эта среда изотропная, (2) обладает пространственной и (3) частотной дисперсией? Найти функцию отклика () для газа осцилляторов, если известен его тензор диэлектрической проницаемости _()= [1-_p²/(²+2i-₀²)]_, где _p, , ₀ - константы, причем <<₀, _ - единичная матрица. Чему равна магнитная проницаемость такой среды при низких частотах?

6. Восстановить вид тензора диэлектрической проницаемости истинно-изотропной среды без пространственной дисперсии, если известно, что показатель преломления для лево-поляризованной волны равен n(ω), а на длине L её амплитуда уменьшается в e^L раз. Поглощение считать малым, но конечным. Во сколько раз отличаются плотности потока энергии электромагнитной волны в такой среде и в вакууме, если частота и амплитуда электрического поля совпадают?

7. Электрон летит в одноосном кристалле в направлении оптической оси. Найти спектральную мощность черенковского излучения электрона (мощность излучения на единичный интервал частот). Найти угловой размер конуса, в котором сосредоточено черенковское излучение. Скорость электрона - v; элементы тензора диэлектрической проницаемости _||(), _() являются известными функциями частоты.

ЗАДАНИЕ №3

7. Шарик радиуса a, находящийся в идеальной несжимаемой жидкости на расстоянии l >> a от твёрдой стенки, движется с постоянной скоростью вдоль неё. Найти распределение давления по поверхности стенки. Плотность жидкости .

8. Вертикальная трубка радиуса R заполнена вязкой жидкостью с плотностью  и находится в поле тяжести. На оси трубки помещён длинный невесомый цилиндр радиуса r<R, так что R-r << R, R << L, где L - длина цилиндра. Найти коэффициент вязкости жидкости , если скорость всплывания цилиндра равна u.

9. Найти стационарное распределение температуры T(r) вязкой жидкости в задаче о стекании слоя по наклонной плоскости в поле тяжести. Верхняя граница жидкости – свободна. Температура наклонной плоскости T₀ поддерживается постоянной, угол её наклона к горизонту - α. Коэффициент кинематической вязкости жидкости -, её теплоёмкость при постоянном давлении - c_p, коэффициент температуропроводности - , плотность - , и толщина слоя жидкости - h.

ЗАДАНИЕ №4

7. Между двумя плоскими параллельными жесткими пластинами вставлен брусок с исходным сечением d₁  d₂. Какую минимальную силу необходимо приложить, чтобы вытянуть брусок из канала, если коэффициент трения его боковой поверхности (d₁) о поверхность канала равен k (k << 1), а длина бруска L >> d₁, d₂? Зазор между пластинами равен a, причем a < d₂. Модуль Юнга E и коэффициент Пуассона  бруска заданы. Указания. Считать, что до приложения вытягивающей силы в бруске не было продольных напряжений. Найти, какие компоненты тензора деформации не изменяются при ``включении'' вытягивающей силы. Воспользоваться уравнением равновесия тела. Значение комбинации параметров  kl/a произвольно.

8. Прямая вертикальная опора с длиной L и сечением a  a жестко закреплена в основании. Найти максимальный вес, который она может удерживать, если её модуль Юнга равен E.