
Статистическое толкование волновых функций.
Волновой процесс,
соответствующий состоянию микрообъекта,
может быть описан плоской монохроматической
волной де Бройля только в случае
свободного движения частицы, обладающей
определенной энергией
и импульсом
.
Функция, которая описывает волновой
процесс в общем случае (произвольное
движение частицы в произвольных полях),
является весьма сложной. Она зависит
от координат и времени, и называется
волновой функцией или пси-функцией -
.
Физический смысл
волн, связанных по идее де Бройля с
движением микрочастиц, был раскрыт не
сразу. Первоначально делались попытки
рассматривать сами частицы как образования
из волн (т.е., по существу, сводить
корпускулярные свойства к волновым).
Это понимание волн де Бройля фактически
было классическим и не смогло отобразить
многообразие свойств микрочастиц. Кроме
того, если среда, в которой распространяется
пакет волн, обладает дисперсией (т.е.
),
то волновой пакет со временем расплывается,
в то время как микрочастица – это
устойчивое образование.
Статистическое толкование волн де Бройля следует из интерпретации волновых функций, которая была дана Максом Борном в 1926 г. Согласно М.Борну, квадрат модуля волновой функции в какой-либо точке пространства определяет плотность вероятности локализации микрочастицы в этой точке.
Вероятность того,
что частица будет локализована в пределах
элементарного объема
в окрестности точки с координатами
в момент времени
,
в соответствии с трактовкой Борна может
быть определена как
.
(Отсюда следует,
в частности, что
- это плотность вероятности). Поскольку
вероятность локализации частицы во
всем объеме равна единице, то
.
Следовательно,
-
функция должна удовлетворять этому
условию, называемому условием
нормировки. Пси-функции, удовлетворяющие
условию нормировки, называются
нормированными.
Из смысла пси-функции следует, что, невозможно точно определить локализацию (местоположение) микрочастицы или траекторию ее движения. Возможно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть локализована в различных точках пространства. В этом проявляется своеобразие микромира.
Операторы в квантовой механике.
Математический аппарат квантовой механики существенно отличается от математического аппарата классической механики. Это отличие связано с тем, что необходимо учитывать особенности поведения микрочастиц (например, их волновые свойства). В квантовой механике для определения физических величин (координаты, импульса, момента импульса, энергии) используют математические операторы. Под оператором понимают символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с данной функцией. Действие оператора обозначается так:
.
Примерами операторов
могут служить: умножение функции на
(
)
или на какую-либо функцию, дифференцирование
по
(
или
)
и т.д.
Свойства операторов.
Если для любой
функции
,
то оператор
называется суммой (разностью) операторов.
Произведением
операторов
называется оператор
,
результат действия которого на любую
функцию будет:
.
Сложение, вычитание
и умножение операторов происходит по
обычным алгебраическим правилам. Однако
не всегда
.
Если это правило выполняется, то операторы
называются коммутирующими. Если
,
то
и
- некоммутирующие операторы. Примером
некоммутирующих операторов являются
операторы
и
.
Легко убедиться в том, что
.
Оператор
называется линейным, если для двух любых
функций
и
и постоянных
и
выполняется условие:
.
В квантовой механике применяются только линейные операторы. В противном случае нарушается принцип суперпозиции.
Средние значения физических величин.
Определим среднее
значение координаты
частицы, состояние которой характеризуется
волновой функцией
:
,
где
- вероятность локализации частицы в
интервале
.
Функция
всюду конечна, отлична от нуля в
ограниченной области и нормирована к
единице, т.е. удовлетворяет условию
.
Среднее значение можно записать в виде
Среднее значение
функции
определяется по формуле
,
где рассматривается как оператор.
Среднее значение проекции момента импульса частицы, состояние которой задается пси-функцией , можно найти следующим образом:
.
Операторы некоторых физических величин.
Операторы координаты и импульса являются основными в квантовой механике.
Оператор координаты
есть само число
:
.
Представление о
том, какой вид имеет оператор
,
можно получить на примере анализа
пси-функции
для свободно движущейся микрочастицы:
;
.
Откуда
.
Из этого выражения
видно, что
.
По аналогии можно записать:
,
.
Чтобы найти операторы других физических величин, можно воспользоваться формулами классической физики. Например, справедливое в классической физике соотношение
позволяет определить
оператор
:
.
В результате
,
где
- оператор Лапласа.
Оператор вектора импульса:
,
где
- оператор набла.
Оператор момента импульса:
,
где
.
Зная оператор момента импульса, можно определить операторы проекций момента импульса:
,
,
.
Оператор кинетической энергии:
.
Оператор потенциальной энергии – это сама потенциальная энергия, т.к. потенциальная энергия является функцией координат частицы:
.
Гамильтониан – оператор полной энергии:
.
Следует заметить,
что это равенство не эквивалентно
выражению для полной энергии частицы
,
т.к. невозможно одновременно точно
определить кинетическую и потенциальную
энергии (в силу соотношения
неопределенностей). Но можно показать,
что среднее значение полной энергии
является суммой средних значений
кинетической и потенциальной энергий: