Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
_media_176146_lin.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
09.07.2019
Размер:
1.99 Mб
Скачать

Г осударственный Университет

Высшая Школа Экономики

в Санкт-Петербурге

Анисимова Н.П.

Методический материал по теме:

Квадратичные формы

Санкт-Петербург

2009

Методический материал по теме: Квадратичные формы.

§1. Определение квадратичной формы.

Рассмотрим следующие функции:

Обозначим А1 1=(а1 1) – матрица коэффициентов

  1. f(x1) = a11x1²

  2. f(x1x2) = a11x1² + a12x1x2 + a21x2x1 + a22x2² = a11x1² + 2a12x1x2 + a22x2²

(если а1221)

Матрица коэффициентов:

А2x2= а11 а12 симметричная матрица

а21 а22 относительно главной диагонали

Заметим, что А2x2 = Ат2x2

  1. f(x1,x2,x3) = a11x1² + a12x1x2 + a21x2x1 + a13x1x3 + a31x3x1 + a23x2x3 + a32x3x2 + a22x2² + a33x3² = a11x1² + a22x2² + a33x3² + 2(a12x1x2+a13x1x3+a23x2x3)

Если а1221, а1331, а2332.

М атрица коэффициентов:

А3x3 = а11 а12 а13 Матрица, симметричная

а21 а22 а23 относительно главной диагонали

а31 а32 а33

А3x3 = Ат3x3

Например,

  1. f(x1,x2) = 2x1² + 3x1x2 – 4x2²

A2x2 = 2 1,5

1,5 -4

2) A3x3 = -1 0,5 -0,6

0,5 4 0,3

-0,6 0,3 -8

f(x1,x2,x3) = -x1² + 4x2² – 8x3² +2*0,5 x1x2 – 2*0,6x1x3 + 2*0,3x2x3

В рассмотренных примерах мы имеем дело с функцией, которая в общем виде зависит от «n» переменных и задается определенной формулой, которой соответствует матрица коэффициентов.

Определение.

Квадратичной формой от «n» переменных называется функция вида:

n n

f(x1,x2,x3,…,xn) = Σ Σ aij xi xj

j=1 i=1

Матрица коэффициентов – это симметричная матрица.

A nxn = a11 a12 … a1j … a1n

a21 a22 … a2j … a2n aij = aji

-------------------------- (i≠5)

ai1 ai2 … aij … ain

--------------------------

an1 an2 … anj … ann

Anxn = Aтnxn

Если det A≠0, то квадратичная форма невырожденная.

Если ввести матрицу:

X1

= X2

X3 ,то квадратичную форму можно записать в матричной форме:

(2) f(x1,x2,x3)=XT1xn×Anxn×Xnx1

§2 Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра.

Опр.1 Будем говорить, что квадратичная форма f =f(x1,x2,…xn) положительно определена, если для (x1,x2,…xn) f (x1,x2,…xn)› 0 (кроме x1=x2…=xn=0)

Опр.2 Будем говорить, что квадратичная форма f =f(x1,x2,…xn) отрицательно определена, если для (x1,x2,…xn) f (x1,x2,…xn)‹ 0 (кроме x1=x2…=xn=0)

Опр.3 Квадратичная форма называется квазиположительной, если f(x1,x2,…xn)≥0, но неверно f (x1,x2,…xn)› 0

Опр.4 Квадратичная форма f (x1,x2,…xn) квазиотрицательна, если f≤0, но неверно f‹0

Замечание

Если говорят, что квадратичная форма неотрицательна, то это возможно одно из двух: или S положительная или квазиположительная, т.е. f≥0

Если говорят, что квадратичная форма неположительна, то это возможно: нулевая, отрицательная или квазиотрицательная

Если форма не удовлетворяет условиям перечисленным выше, то это знакопеременная форма.

Рассмотрим примеры

  1. f(x)=ax2 (x≠0)

Если а›0, то f›0 (положительно определенная)

Если a‹0, то f‹0 (отрицательно определенная)

  1. f(x1,x2)=x12-6x1x2+9x22

f(x1,x2)=(x1-3x2)2 f≥0 (неотрицательна)

  1. f(x1,x2,x3)=-9x12-x22-3x32 f‹0 (x1,x2,x3≠0)

  2. f(x1,x2,x3)=-(x1+x2-4x3)2-9 f‹0

x1,x2,x3 отрицательно определена

В общем случае трудно установить знак квадратичной формы.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.