Пример контрольной работы

+

ЗАДАЧА 6.

В задачах 6.15 (параметры заданий приведены в табл. 1.2) случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интер-

вал[α, β].

Таблица 1.2

По свойству вероятности ∞∫ f (x)dx =1, учитывая что при х<-2 и х>2 f(x)=0 по-

−∞

лучим.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (α, β) можно найти по формуле: Р(α<=x<β) = F(β)–F(α).

P(1.5<=x<=2)=F(2)–F(1.5)= 4/8 – 2.25/8 = 0.209

+

ЗАДАЧА 7.

В задаче 7.15 (условия приведены в табл. 1.3) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=φ(X) и определить плотность вероятности g(y).

Таблица 1.3

Решение:

Так как случайная величина распределена равномерно на интервале [0, 0.75π], то ее плотность распределения имеет вид:

Построим график величины Y=sin(x) для x в интервале [0, 0.75π] и в зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для Y:

[-∞, 0] k=0 [0, 0.5] k=1 [0.5, 1] k=2 [1, +∞] k=0

Так как на интервале [-∞, 0] и [1, +∞] обратная функция не существует, то для этих интервалов g(y)=0;

В интервале [0, 0.5] имеется одна обратная функция ψ( y) = −arcsin(y);

По формуле получим:

В интервале [0.5, 1] две обратные функции:

+

ЗАДАНИЕ 8 (22).

В задаче 8 двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 1.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

Найдем неизвестную константу с, определим, используя условие нормировки плотности вероятности:

с = 19

Проверим геометрически полученный результат. Объем тела, ограниченный поверхностью распределения и плоскостью x0y должен быть равен

единице, т.е. V = c ×Sb = 19 ×9 =1

Вычислим математические ожидания:

Ответ: коэффициент корреляции равен -0,223, что предполагает наличие обратной связи между величинами.

ЗАДАЧА 9.

Одномерная выборка №138:

5.622.43 4.81 5.70 3.68 3.76 2.45 6.21 3.75 4.05 5.98 0.96 1.42 2.69 0.72

5.755.38 3.41 0.33 4.37 5.59 2.95 6.58 2.69 2.05 2.51 3.91 2.86 5.60 3.31 5.53

6.642.20 1.84 6.16 2.22 3.94 1.61 4.87 1.22 5.35 1.61 2.02 5.14 4.41 1.04 6.51

3.851.08 3.36 6.49 6.04 5.67 3.83 1.40 5.32 5.95 5.48 6.18 2.55 6.53 5.33 5.14

4.311.46 5.60 3.97 4.14 3.56 1.51 4.33 6.47 1.02 3.49 0.66 5.37 0.54 3.42 2.74

1.055.03 4.25 4.64 1.80 3.51 6.47 4.35 6.46 6.83 2.45 4.62 3.17 1.79 5.59 4.93

2.113.89 5.70 2.87 4.54

По выборке одномерной случайной величины,:

- получить вариационный ряд; - построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график

эмпирической функции распределения F*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом; - построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и диспер-

сии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дис-

персии (γ = 0,95); - выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и

проверить ее при помощи критерия согласия χ2 и критерия Колмогорова (α = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе.

Решение:

1)получим вариационный ряд:

0.330.54 0.66 0.72 0.96 1.02 1.04 1.05 1.08 1.22 1.40 1.42 1.46 1.51 1.61 1.61

1.791.80 1.84 2.02 2.05 2.11 2.20 2.22 2.43 2.45 2.45 2.51 2.55 2.69 2.69 2.74

2.862.87 2.95 3.17 3.31 3.36 3.41 3.42 3.49 3.51 3.56 3.68 3.75 3.76 3.83 3.85

3.893.91 3.94 3.97 4.05 4.14 4.25 4.31 4.33 4.35 4.37 4.41 4.54 4.62 4.64 4.81

4.874.93 5.03 5.14 5.14 5.32 5.33 5.35 5.37 5.38 5.48 5.53 5.59 5.59 5.60 5.60

5.625.67 5.70 5.70 5.75 5.95 5.98 6.04 6.16 6.18 6.21 6.46 6.47 6.47 6.49 6.51

6.536.58 6.64 6.83

Построим график эмпирической и гипотетической функции распределения:

F*(x)

F0(x)